تعریف اولیه اعداد زوج و فرد
اعداد زوج (even) اعداد صحیحی هستند که بر2 بخش پذیر هستند ؛ …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8,10, …
رقم یکان این اعداد 0 یا 2 یا 4 یا 6 یا 8 هستند. مثلا 156 و 74810 و 586492 زوج هستند. بنابراین باقی مانده تقسیم هر عدد زوج بر 2 برابر است با 0، پس هر عدد زوج را می توان به صورت k2 نمایش داد k عددی صحیح است؛ مثلا 17×2=34.
اعداد فرد (odd) اعداد صحیحی هستند که بر 2 بخش پذیر نیستند؛ …, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, …
رقم یکان این اعداد 1 یا 3 یا 5 یا 7 یا 9 هستند. مثلا 253 و 14841 و 18761327 فرد هستند. بنابراین باقی مانده تقسیم هر عدد فرد بر 2 برابر است با 1، پس هر عدد فرد را می توان به صورت 2k+1 نمایش داد k عددی صحیح است. مثلا 1+23×2=47 . همانطور که می بینیم هر عدد صحیح یا زوج است و یا فرد. در واقع اعداد زوج و فرد به صورت یکی در میان ظاهر می شوند.
فرض کنید میخواهیم 34 را بر 8 تقسیم کنیم. به عبارت دیگر داریم: 34=8×4+2
در تقسیم مقابل عدد 34 را مقسوم (dividend)، عدد 8 را مقسوم علیه (divisor)، عدد 4 را خارج قسمت (quotient) و عدد 2 را باقی مانده (remainder) گویند.
در حالت کلی برای عدد دلخواه x و مقسوم علیه D فرمول زیر را داریم:
همواره تقسیم را تا جایی ادامه می دهیم که باقی مانده کمتر از D باشد. پس باقی مانده یکی از مقدارهای 0 یا 1 یا ... یا D-1 است.
- اگر باقی مانده 0 باشد آنگاه گوییم x بر D بخش پذیر است. (x is divisible by D)
گاهی برای یافتن باقیمانده نیازی به انجام عمل تقسیم نیست:
- باقی مانده تقسیم یک عدد بر 2: اگر عدد زوج باشد باقی مانده صفر است و اگر عدد زوج باشد باقی مانده فرد است.
- باقی مانده تقسیم یک عدد بر 3: باقی مانده برا بر است با باقی مانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 3.
- باقی مانده 974 بر 3 برابر است با تقسیم 9+7+4=20 بر 3 که برابر است با 2.
- باقی مانده تقسیم یک عدد بر 4: کافیست باقی مانده دو رقم سمت راست عدد بر 4 را بدست آوریم .
- باقی مانده تقسیم 48763146 بر 4 برابر است با باقی مانده تقسیم 46 بر 4 که برابر است با 2.
- باقی مانده تقسیم یک عدد بر 5: اگر رقم یکان کمتر از 5 بود، باقی مانده همان عدد است ولی اگر بیشتر از 5 بود کافیست 5 واحد از آن کم کنیم.
- باقی مانده 3584 بر 5 برابر است با 4 و باقی مانده 6428 بر 5 برابر است با 3=5-8.
- باقی مانده تقسیم یک عدد بر 8: کافیست باقی مانده 3 رقم سمت راست آن عدد بر 8 را بدست آوریم.
- باقی مانده یک عدد تقسیم بر 9: ارقام آن عدد را آنقدر با هم جمع می کنیم تا حاصل عددی یک رقمی شود.
- باقی مانده تقسیم 37954 بر 9 چیست؟ 4+7+9+5+4=29 و 2+9=11 و 1+1=2. پس باقی مانده برابر است با 2.
- باقی مانده تقسیم یک عدد بر 10: برابر است با رقم یکان آن عدد.
اگر دو عدد دارای مقسوم علیه یکسان باشند آنگاه می توانیم باقی مانده های مجموع، تفریق یا حاصل ضرب آن ها را نیز بدست آوریم.
برای این منظور به ترتیب باقی مانده ی آنها را با هم جمع یا تفریق و یا در هم ضرب می کنیم البته در صورتی که مقدارهای اضافه و یا منفی را تصحیح کنیم.
مثلا 2+7×3=23, 4+7×5=39 بنابراین باقی مانده 23+39 برابر است با 4+2=6.
حالا دو عدد دیگر را ببینید 4+7×3=25، 5+7×5=40. اما باقی مانده 40+25 نمی تواند 5+4=9 باشد چون 9>7 پس مقدار اضافی 7 را از 9 کم می کنیم. در نتیجه باقی مانده 2=7-9 است.
همچنین باقی مانده 40-25 نمی تواند 1-=5-4 باشد. پس به 1- مقدار اضافی 7 را اضافه می کنیم و در نتیجه 6=7+1- باقی مانده است.
همچنین باقی مانده 25×40 نمی تواند 4×5=20 باشد. باقی مانده حاصل ضرب برابر است با باقی مانده تقسیم 20 بر 7. بنابراین باقی مانده تقسیم 25×40 بر 7 برابر است با 6.
در حالت کلی فرض کنیم باقی مانده های تقسیم عدد های x، y بر عدد D به ترتیب برابر باشند با R1,R2 اگر.R1+R2R1+R2
- اگر R1+R2>D آنگاه باقی مانده تقسیم x+y بر D برابر است با.R1+R2-D
- اگر 0<R1-R2 آنگاه باقی مانده تقسیم x-y بر D برابر است با .R1-R2
- اگر 0>R1-R2 آنگاه باقی مانده تقسیم x-y بر D برابر است با .R1-R2+D
- اگر R1×R2>D آنگاه باقی مانده تقسیم x×y بر D برابر است با باقی مانده تقسیم R1×R2 بر .D
مثال هایی از ریاضی جی آر ای
1. The product integers f, g and h are even and the product of integers f and g is odd.
Quantity A Quantity B
the remainder when f is divided by 2 the remainder when h is divided by 2
The answer is A.
The product of f and g is odd, then f and g are odd. the product of f, g and h is even and since the product of f and g is odd thus h is even. Therefore, the remainder of f divided by 2 is 1 and the remainder of h divided by 2 is 0.
2. In set A containing n integers, the average is equal to the median.
Quantity A Quantity B
the remainder when n is divided by 2 the remainder when n-1 is divided by 2
The answer is D.
In evenly spaced sets the average is equal to median, no matter what n it is. Thus, if n is even the remainder of n divided by 2 is 0 and n-1 divided by 2 is 1. If n is odd the reminder of n divided by 2 is 1 and the remainder of n-1 divided by 2 is 0.
3. If a/b has a remainder of 4, what is the smallest possible value of a+b?
a=Q×b+4, then b is at least 5 (because the remainder is always less than divisor). therefore a≥5Q+4. but the smallest possible for a is 4 when Q=0. thus a+b=4+5=9.
4. m is a three-digit integer such that when is divided by 5, the remainder is y, and when is divided by 7, the remainder is also y. If y is a positive integer, what is the smallest possible value of m?
m=5Q1+R and m=7Q2+R. thus 5Q1=7Q2 that means Q1 is divisible by 7 and Q2 is divisible by 5. Therefore, if m=35 then R=0 and If m=36 then R=1. In conclusion if m is a multiple of 35 then R=0 and if we add 1 unit then R=1. the smallest three-digit multiple of 35 is 105 and by adding 1 unit we have m=106.
5. what is the unit digit of 8×9×10×11×12×13?
the unit digit of a number means the remainder of the number divided by 10. since the number is a multiple of 10 then the unit digit is 0.
6. what is the unit digit of 2323 -1717?
the remainder of 23 divided by 10 is 3. So, the unit digit of 2323 is equal to 323. the unit digit of 34 =81 is 1 and since 323=320× 33 therefore the unit digit of 323 is equal to unit digit of 33 that is 7. The remainder of 17 divided by 10 is 7. so, the unit digit of 1717 is equal to unit digit of 717. But the unit digit of 72 is equal to 9 and since 717=716×7 therefore the unit digit is equal to the unit digit of 98×7. But we saw that the unit digit of 92=34 is equal to 1. Thus, the unit digit is equal to 7.
therefore, the unit digit of 2323 and 1717 is 7. In conclusion the unit digit of 2323 -1717 is 7-7=0.