فرض کنید میخواهیم 34 را بر 8 تقسیم کنیم.
به عبارت دیگر داریم: 34=8×4+2
در تقسیم مقابل عدد 34 را مقسوم (dividend)، عدد 8 را مقسوم علیه (divisor)، عدد 4 را خارج قسمت (quotient) و عدد 2 را باقیمانده (remainder) گویند.
در حالت کلی برای عدد دلخواه x و مقسوم علیه D فرمول زیر را داریم:
همواره تقسیم را تا جایی ادامه میدهیم که باقیمانده کمتر از D باشد. پس باقیمانده یکی از مقدارهای 0 یا 1 یا ... یا D-1 است.
اگر باقیمانده 0 باشد آنگاه گوییم x بر D بخشپذیر است. (x is divisible by D)
گاهی برای یافتن باقیمانده نیازی به انجام عمل تقسیم نیست:
باقیمانده تقسیم یک عدد بر 2: اگر عدد زوج باشد باقیمانده صفر است و اگر عدد زوج باشد باقیمانده فرد است.
باقیمانده تقسیم یک عدد بر 3: باقیمانده برا بر است با باقیمانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 3.
باقیمانده 974 بر 3 برابر است با تقسیم 9+7+4=20 بر 3 که برابر است با 2.
باقیمانده تقسیم یک عدد بر 4: کافیست باقیمانده دو رقم سمت راست عدد بر 4 را بدست آوریم .
باقیمانده تقسیم 48763146 بر 4 برابر است با باقیمانده تقسیم 46 بر 4 که برابر است با 2.
باقیمانده تقسیم یک عدد بر 5: اگر رقم یکان کمتر از 5 بود، باقیمانده همان عدد است ولی اگر بیشتر از 5 بود کافیست 5 واحد از آن کم کنیم.
باقیمانده 3584 بر 5 برابر است با 4 و باقیمانده 6428 بر 5 برابر است با 3=5-8
باقیمانده تقسیم یک عدد بر 8: کافیست باقیمانده 3 رقم سمت راست آن عدد بر 8 را بدست آوریم.
باقیمانده یک عدد تقسیم بر 9: ارقام آن عدد را آنقدر با هم جمع می کنیم تا حاصل عددی یک رقمی شود.
باقیماند ه تقسیم 37954 بر 9 چیست؟ 4+7+9+5+4=29 و 2+9=11 و 1+1=2. پس باقیمانده برابر است با 2.
باقیمانده تقسیم یک عدد بر 10: برابر است با رقم یکان آن عدد.
اگر دو عدد دارای مقسوم علیه یکسان باشند آنگاه می توانیم باقیمانده های مجموع، تفریق یا حاصلضرب آن ها را نیز بدست آوریم.
برای این منظور به ترتیب باقیمانده ی آنها را با هم جمع یا تفریق و یا در هم ضرب می کنیم البته در صورتی که مقدارهای اضافه و یا منفی را تصحیح کنیم.
مثلا 2+7×3=23, 4+7×5=39 بنابراین باقیمانده 23+39 برابر است با 4+2=6.
حالا دو عدد دیگر را ببینید 4+7×3=25, 5+7×5=40. اما باقیمانده 40+25 نمیتواند 5+4=9 باشد چون 9>7. پس مقدار اضافی 7 را از 9 کم می کنیم. در نتیجه باقیمانده 2=7-9 است
همچنین باقیمانده 40-25 نمیتواند 1-=5-4 باشد. پس به 1- مقدار اضافی 7 را اضافه میکنیم و در نتیجه 6=7+1- باقیمانده است.
همچنین باقیمانده 25×40 نمیتواند 4×5=20 باشد. باقیمانده حاصلضرب برابر است با باقیمانده تقسیم 20 بر 7. بنابراین باقیمانده تقسیم 25×40 بر 7 برابر است با 6.
در حالت کلی فرض کنیم باقیمانده های تقسیم عدد های x, y بر عدد D به ترتیب برابر باشند با R1,R2.
اگرR1+R2R1+R2.
اگر R1+R2>D آنگاه باقیمانده تقسیم x+y بر D برابر است با R1+R2-D.
اگر 0<R1-R2 آنگاه باقیمانده تقسیم x-y بر D برابر است با R1-R2.
اگر 0>R1-R2 آنگاه باقیمانده تقسیم x-y بر D برابر است با R1-R2+D .
اگر R1×R2>D آنگاه باقیمانده تقسیم x×y بر D برابر است با باقیمانده تقسیم R1×R2 بر D.
مثال هایی از مبحث باقی مانده
1. The product integers f, g and h is even and the product of integers f and g is odd.
Quantity A Quantity B
the remainder when f is divided by 2 the remainder when h is divided by 2
The answer is A.
The product of f and g is odd, then f and g are odd. the product of f,g and h is even and since the product of f and g is odd thus h is even. therefore the remainder of f divided by 2 is 1 and the remainder of h divided by 2 is 0.
2. In set A containing n integers, the average is equal to the median.
Quantity A Quantity B
the remainder when n is divided by 2 the remainder when n-1 is divided by 2
The answer is D.
In evenly spaced sets the average is equal to median, no matter what n it is. thus if n is even the remainder of n divided by 2 is 0 and n-1 divided by 2 is 1. If n is odd the remander of n divided by 2 is 1 and the remainder of n-1 diveded by 2 is 0.
3. If a/b has a remaider of 4, what is the smallest possible value of a+b?
a=Q×b+4, then b is at least 5 (because the remainder is always less than divisor). therefore a≥5Q+4. but the smallest possible for a is 4 when Q=0. thus a+b=4+5=9.
4. m is a three-digit integer such that when is divided by 5, the remainder is y, and when is divided by 7, the remainder is also y. If y is a positive integer, what is the smallest possible value of m ?
m=5Q1+R and m=7Q2+R. thus 5Q1=7Q2 that means Q1 is divisible by 7 and Q2 is divisible by 5. therefore if m=35 then R=0 and If m=36 then R=1. In conclusion if m is a multiple of 35 then R=0 and if we add 1 unit then R=1. the smallest three-digit multiple of 35 is 105 and by adding 1 unit we have m=106.
5. what is the unit digit of 8×9×10×11×12×13?
the unit digit of a number means the remainder of the number divided by 10. since the number is a multiple of 10 then the unit digit is 0.
6. what is the unit digit of 2323 -1717?
the remainder of 23 divided by 10 is 3. So the unit digit of 2323 is equal to 323 . the unit digit of 34 =81 is 1 and since 323=320× 33 therefore the unit digit of 323 is equal to unit digit of 33 that is 7. The remainder of 17 divided by 10 is 7. so the unit digit of 1717 is equal to unit digit of 717. But the unit digit of 72 is equal to 9 and since 717=716×7 therefore the unit digit is equal to the unit digit of 98×7. But we saw that the unit digit of 92=34 is equal to 1. Thus the unit digit is equal to 7.
therefore the unit digit of 2323 and 1717 is 7. In conclusion the unit digit of 2323 -1717 is 7-7=0.