ریاضی GRE:تقسیم و هم‌نهشتی | بروزرسانی 1404

💡 خلاصه نکات کلیدی

• 🧮 فرمول طلایی: در تقسیم عدد صحیح n بر d، رابطه همیشه به صورت n = d × q + r است.
• ✅ شرط حیاتی: باقیمانده (r) در آزمون GRE همیشه باید عددی نامنفی (r ≥ 0) و کوچکتر از مقسوم‌علیه (d) باشد.
• 🔢 تکنیک عددگذاری: یکی از بهترین روش‌ها برای حل سوالات باقیمانده، جایگذاری اعداد هوشمند به جای متغیرهاست.
• 🔄 الگوهای تکرارشونده: توان‌های اعداد بزرگ معمولاً در رقم یکان یا باقیمانده‌ها الگوی تکراری (Cyclicity) دارند.
• 📟 دام ماشین حساب: ماشین حساب GRE باقیمانده را نشان نمی‌دهد، بلکه جواب اعشاری می‌دهد که نیاز به تبدیل دارد.

مقدمه‌ای بر اهمیت مبحث باقیمانده در GRE

بخش استدلال کمی (Quantitative Reasoning) در آزمون GRE یکی از بخش‌هایی است که داوطلبان ایرانی معمولاً در آن عملکرد خوبی دارند. با این حال، نمره کامل (170) اغلب به دلیل بی‌دقتی در مباحثی که «ساده» پنداشته می‌شوند، از دست می‌رود. یکی از این مباحث، باقیمانده (Remainder) است. شاید در نگاه اول، تقسیم کردن ساده به نظر برسد، اما طراحان سوالات ETS (برگزارکننده آزمون) روش‌های پیچیده‌ای برای به چالش کشیدن درک شما از این مفهوم دارند.

درک عمیق خواص اعداد صحیح (Integer Properties) و به خصوص باقیمانده‌ها، نه تنها سرعت شما را در حل سوالات افزایش می‌دهد، بلکه از افتادن در دام‌های متداول جلوگیری می‌کند. در این مقاله طولانی و جامع، تمامی زوایای این مبحث را بررسی خواهیم کرد تا شما با اطمینان کامل سر جلسه حاضر شوید و نیازی به پرداخت مجدد هزینه آزمون برای جبران نمره نداشته باشید.

تعریف پایه و فرمول اصلی تقسیم

در ریاضیات GRE، وقتی صحبت از باقیمانده می‌شود، ما فقط با اعداد صحیح (Integers) سر و کار داریم. تقسیم شامل چهار جزء اصلی است:

• مقسوم (Dividend): عددی که قرار است تقسیم شود.
• مقسوم‌علیه (Divisor): عددی که بر آن تقسیم می‌کنیم.
• خارج قسمت (Quotient): نتیجه تقسیم (بخش صحیح).
• باقیمانده (Remainder): مقداری که پس از تقسیم باقی می‌ماند.

فرمول جبری اصلی:
Dividend = (Divisor × Quotient) + Remainder
یا به زبان ساده‌تر: x = yq + r

قانون مهم GRE در مورد باقیمانده:
مهم‌ترین نکته‌ای که بسیاری از داوطلبان را به اشتباه می‌اندازد، شرط باقیمانده است. در آزمون GRE:

باقیمانده همیشه باید بزرگتر یا مساوی صفر و اکیداً کوچکتر از مقسوم‌علیه باشد:
0 ≤ r < Divisor

به عنوان مثال، اگر حاصل تقسیم عددی بر 5 را محاسبه می‌کنید، باقیمانده فقط می‌تواند اعداد {0, 1, 2, 3, 4} باشد. باقیمانده نمی‌تواند منفی باشد و نمی‌تواند 5 یا بیشتر باشد.

استراتژی‌های حل مسائل باقیمانده

1. بازنویسی اعداد به زبان جبری

بسیاری از سوالات GRE به صورت توصیفی مطرح می‌شوند. مثلاً: «وقتی عدد صحیح n بر 7 تقسیم می‌شود، باقیمانده 3 است.»
اولین کاری که باید بکنید، تبدیل این جمله به معادله است:
n = 7k + 3 (که در آن k یک عدد صحیح نامشخص است).
حال اگر سوال بپرسد «باقیمانده تقسیم 2n بر 7 چقدر است؟»، کافیست معادله را در 2 ضرب کنید:
2n = 2(7k + 3) = 14k + 6 وقتی 14k + 6 را بر 7 تقسیم کنیم، بخش 14k مضرب 7 است و باقیمانده صفر دارد. پس باقیمانده نهایی همان باقیمانده تقسیم 6 بر 7 است که برابر با 6 می‌شود.

2. تکنیک عددگذاری (Plugging In Numbers)

این تکنیک در بخش Quantitative Comparison بسیار کارآمد است. فرض کنید سوال می‌گوید: «باقیمانده تقسیم x بر 5 برابر 2 است.» به جای استفاده از جبر، می‌توانید چند عدد که در این شرط صدق می‌کنند را پیدا کنید:

• کوچکترین عدد (با خارج قسمت 0): x = 2
• عدد بعدی: x = 7
• عدد بعدی: x = 12

3. دام باقیمانده منفی

گاهی در محاسبات جبری ممکن است به باقیمانده منفی برسید. مثلاً سوالی طرح می‌شود که در نهایت به مفهوم -3 به عنوان باقیمانده تقسیم بر 7 می‌رسید. در ریاضیات پیشرفته (نظریه اعداد)، باقیمانده منفی معنی دارد، اما در GRE ممنوع است. برای اصلاح باقیمانده منفی: به اندازه مقسوم‌علیه به آن اضافه کنید تا مثبت شود. مثال: باقیمانده -2 در تقسیم بر 5:
-2 + 5 = 3 باقیمانده صحیح در استاندارد GRE برابر با 3 است.

کاربرد باقیمانده در تشخیص الگوها (Pattern Recognition)

یکی از انواع دشوار سوالات، پرسیدن باقیمانده اعداد توان‌دار بزرگ است. مثال: باقیمانده 3⁴⁵ بر 5 چقدر است؟ شما نمی‌توانید 3⁴⁵ را محاسبه کنید. باید الگوی تکرار (Cycle) را پیدا کنید:

• 3¹ = 3 → تقسیم بر 5 → باقیمانده: 3
• 3² = 9 → تقسیم بر 5 → باقیمانده: 4
• 3³ = 27 → تقسیم بر 5 → باقیمانده: 2
• 3⁴ = 81 → تقسیم بر 5 → باقیمانده: 1
• 3⁵ = 243 → تقسیم بر 5 → باقیمانده: 3 (تکرار شد)

الگو به صورت 3, 4, 2, 1 تکرار می‌شود. طول دوره تناوب (Cycle) برابر 4 است. حالا توان (45) را بر طول دوره (4) تقسیم می‌کنیم: 45 ÷ 4 → باقیمانده 1 این یعنی جواب ما اولین عدد در الگو است. پس باقیمانده نهایی برابر 3 می‌شود. این نوع سوالات مستقیماً مهارت شما در درک خواص اعداد را می‌سنجند و اگر بر آنها مسلط نباشید، شانس رسیدن به نمره 170 را از دست می‌دهید.

چالش ماشین حساب در آزمون GRE

در آزمون GRE یک ماشین حساب روی صفحه (On-screen Calculator) وجود دارد. اما یک مشکل بزرگ وجود دارد: این ماشین حساب باقیمانده را به شما نمی‌دهد و فقط جواب اعشاری نمایش می‌دهد. مثال: 352 ÷ 7 ماشین حساب نشان می‌دهد: 50.2857...

بخش صحیح (50) همان خارج قسمت است. اما 0.2857 باقیمانده نیست! برای یافتن باقیمانده با ماشین حساب باید این مراحل را طی کنید:

• روش اول: بخش اعشاری را در مقسوم‌علیه ضرب کنید: 0.2857 × 7 ≈ 2
• روش دوم (فرمولی): Remainder = Dividend − (Divisor × Quotient) مثال: 352 − (7 × 50) = 352 − 350 = 2

دانستن این ترفند ساده، ثانیه‌های ارزشمندی را در آزمون GRE برای شما ذخیره می‌کند.

بررسی رابطه باقیمانده و بخش‌پذیری

باقیمانده صفر به معنای بخش‌پذیری کامل است. در سوالات GRE، عبارات زیر هم‌معنی هستند:

• باقیمانده تقسیم x بر y صفر است.
• x مضربی از y است.
• y یک فاکتور (Factor) یا مقسوم‌علیه x است.
• x بر y بخش‌پذیر است.

تشخیص سریع این مترادف‌ها در سوالات متنی (Word Problems) بسیار حیاتی است. گاهی سوال به جای کلمه 'Remainder' از عبارت 'Left over' استفاده می‌کند. مثال: 'If 50 apples are distributed equally among n students, 2 apples are left over.' این دقیقاً یعنی باقیمانده تقسیم 50 بر n برابر 2 است:

50 = nk + 2 ⇒ nk = 48

این یعنی n باید یکی از مقسوم‌علیه‌های عدد 48 باشد و همچنین شرط n > 2 (باقیمانده باید کوچکتر از مقسوم‌علیه باشد) را رعایت کند.

نقش 'هزینه آزمون' در استراتژی مطالعه

شاید بپرسید چرا باید روی چنین جزئیاتی تمرکز کرد؟ پاسخ ساده است: مدیریت ریسک و هزینه.

هزینه آزمون GRE در حال حاضر برای دانشجویان ایرانی مبلغ قابل توجهی است (با توجه به نوسانات ارز). هر بار ثبت‌نام در این آزمون فشار مالی و روانی زیادی به داوطلب وارد می‌کند.

بسیاری از داوطلبان صرفاً روی مباحث پیچیده مثل هندسه فضایی یا احتمالات شرطی تمرکز می‌کنند و از مباحث پایه‌ای مثل 'باقیمانده‌ها' غافل می‌شوند. اما آمار نشان می‌دهد که تعداد سوالات بخش Number Properties (که باقیمانده بخشی از آن است) بسیار بیشتر از مباحثی مثل هندسه سه بعدی است.

تسلط بر این مباحث به معنی تضمین نمره کف (Base Score) بالاتر است. با یادگیری دقیق این نکات ریز، شما از هدر رفتن هزینه آزمون خود جلوگیری می‌کنید و احتمالاً با همان بار اول شرکت در آزمون، به نمره دلخواه می‌رسید. تکرار آزمون نه تنها هزینه مالی دارد، بلکه پروسه اپلای شما را نیز ماه‌ها به تاخیر می‌اندازد.

سوالات چند گزینه‌ای و دام‌های 'Could Be' در برابر 'Must Be'

در سوالات باقیمانده، به افعال دقت کنید:

• Must be: یعنی در تمام حالات ممکن باید صدق کند.
• Could be: یعنی اگر حتی یک مثال پیدا کنید که صدق کند، کافی است.

مثال: اگر باقیمانده تقسیم x بر 3 برابر 1 باشد، کدام مورد زیر باید درست باشد؟

• الف) x فرد است.
• ب) x زوج است.
• ج) x مضرب 4 است.
• د) هیچکدام.

بیایید عددگذاری کنیم:

• x می‌تواند 4 باشد (باقیمانده تقسیم بر 3 می‌شود 1).
• x می‌تواند 7 باشد (باقیمانده تقسیم بر 3 می‌شود 1).
• x می‌تواند 10 باشد.

بررسی گزینه‌ها:

• الف: 4 زوج است، پس x لزوماً فرد نیست. (رد گزینه)
• ب: 7 فرد است، پس x لزوماً زوج نیست. (رد گزینه)
• ج: 7 مضرب 4 نیست. (رد گزینه)

پس پاسخ 'هیچکدام' است. اگر سوال می‌پرسید کدام مورد می‌تواند (Could be) درست باشد، هر سه گزینه ممکن بود درست باشند (چون 4 زوج و مضرب 4 است، و 7 فرد است). دقت به این کلمات کلیدی، تفاوت بین یک نمره متوسط و یک نمره عالی است.

باقیمانده‌های اعشاری و کسری

گاهی در سوالات GRE به جای باقیمانده صحیح، با فرمت کسری مواجه می‌شوید. رابطه زیر همیشه برقرار است:

Dividend ÷ Divisor = Quotient + (Remainder ÷ Divisor)

مثال: اگر سوال بگوید حاصل تقسیم x بر 5 برابر 4.2 است، باقیمانده چند است؟

4.2 = 4 + 0.2

خارج قسمت 4 است و بخش کسری (Remainder ÷ 5) برابر 0.2 است. پس:

0.2 × 5 = 1 ⇒ باقیمانده صحیح r = 1

این تکنیک برای تبدیل سریع اطلاعات اعشاری به باقیمانده صحیح بسیار کاربردی است.

مباحث پیشرفته: قضیه باقیمانده چینی (نسخه ساده شده برای GRE)

گاهی سوالاتی مطرح می‌شود که یک عدد دارای دو یا چند باقیمانده نسبت به اعداد مختلف است.

مثال: عدد n در تقسیم بر 5 باقیمانده 2 دارد و در تقسیم بر 3 باقیمانده 1 دارد. کوچکترین مقدار n چیست؟

روش حل:

1. نوشتن فرمول برای بزرگترین مقسوم‌علیه: n = 5k + 2
2. عددگذاری روی k و بررسی شرط دوم:
   • اگر k = 0 → n = 2 (تقسیم بر 3 باقیمانده 2 دارد ✗)
   • اگر k = 1 → n = 7 (تقسیم بر 3 باقیمانده 1 دارد ✓)
3. پس کوچکترین عدد 7 است.
4. اگر سوال عدد بعدی را بخواهد، باید ک.م.م (LCM) مقسوم‌علیه‌ها (3 و 5) را به عدد اول اضافه کنید.
   • ک.م.م 3 و 5 برابر 15 است.
   • اعداد بعدی: 7, 22, 37, ...

این الگو (LCM × m + FirstMatch) کلید حل سوالات ترکیبی باقیمانده است.

تاثیر سرعت عمل در موفقیت

زمان در آزمون GRE فاکتور تعیین‌کننده‌ای است. برای هر سوال ریاضی تقریباً 1 دقیقه و 45 ثانیه زمان دارید. روش‌های تشریحی طولانی (مثل تقسیم طولانی روی کاغذ) قاتل زمان شما هستند.

تکنیک‌هایی که در بالا گفته شد (مثل نگاه به یکان برای توان‌ها، یا استفاده از فرمول R = D − d × q) ابزارهایی هستند که زمان حل سوال را از 2 دقیقه به 30 ثانیه کاهش می‌دهند. این زمان ذخیره شده را می‌توانید صرف سوالات دشوارتر Data Interpretation کنید.

دعوت به مشاوره تخصصی GRE