ترکیبیات (Combinatorics) - این کلمه‌ای است که قبل از آماده شدن برای آزمون GRE، هیچ‌ کدام از ما، نه آن را بر زبان گفته‌ایم و نه چیزی از آن شنیده‌ایم. این یک کلمه‌ی فانتزی است که به‌ معنای 'تعداد احتمال‌ها' یا 'تمام راه‌های یک چیز است' (تعاریف من). وقتی با آن مواجه می‌شویم، اغلب گیج و سردرگم می‌شویم. بیشتر کتاب‌ها و ابزارهای مطالعه‌ی آنلاین، فرمولی به ‌شما می‌آموزند که به‌ شکل فریبنده‌ای ساده است. پس، با خود فکر می‌کنیم: 'چه خوب، فهمیدم!' سپس در یک آزمون آزمایشی جی آر ای، با یک سوال ترکیبیاتی روبرو می‌شویم و بعد، چه اتفاقی می‌اُفتد؟ سوال را غلط جواب می‌دهیم. فرمول کار نمی‌کند. این یک تجربه‌ی ناامید کننده است و من می‌خواهم در این مقاله، آن را برای شما حل کنم.

اول یک نکته‌ی مهم - سوالات بسیار کمی از این نوع در آزمون GRE وجود دارد و ارزش ندارد که ساعت‌ها وقت خود را به مطالعه‌ی ترکیبیات، مثلاً جبر یا سوالات درصد بپردازید. بنابراین، اگرچه من می‌خواهم شما بتوانید به سوالات ترکیبیات پاسخ دهید، اما نمی‌خواهم که وقت خود را بیش از حد صرف آن کنید.

استراتژی‌های ترکیبیات GRE

حال بیایید استراتژی ترکیبیات را که ما در موسسه‌ی زبان زنگنه آموزش می‌دهیم و در مورد سوالات ترکیبیات GRE قابل ‌استفاده است، بیان کنیم. این یک فرمول ساده نیست، اما برخلاف فرمول ساده، در آزمون قابل‌ استفاده است. اول، با دو اصطلاح مهم آشنا می‌شویم؛ Slots و برچسب‌ها (Labels).

Slots: یک خط خالی برای هر تصمیم.

برچسب‌ها توصیف طبقه‌ی موردی که آن Slot را پُر می‌کند. این فرایند رخ می‌دهد.

• مرحله‌ی 1: برای هر تصمیمی که می‌گیرید، Slots ایجاد کنید.
• مرحله‌ی 2: به آن Slots با توجه به نوع موردی که آن‌ها را پُر می‌کند، برچسبی بزنید.
• مرحله‌ی 3: تعداد گزینه‌ها را برای هر Slot وارد کنید.
• مرحله‌ی 4: برای یافتن تعداد کل احتمال‌ها، ضرب کنید.

تقریباً موضوع حل شد! 90 درصد کار را انجام دادیم. بیایید نگاهی به یک مثال بیندازیم. فرض کنید ما در حال تشکیل یک گروه آواز چهار نفره هستیم و قصد داریم از بین گروهی متشکل از شش خواننده، چهار نفر را انتخاب کنیم. هر شخص در این گروه، نقش تعیین ‌شده‌ای خواهد داشت: سوپرانو، آلتو، تنور و باس. برای هر قسمت، چهار Slots درست می‌کنیم و به آن‌ها برچسبی می‌زنیم:

• اکنون، Slots را با تعداد گزینه‌ها برای هر تصمیم پُر می‌کنیم. در اولین گام، از بین 6 نفر دست به انتخاب می‌زنیم؛
• در گام دوم، از بین 5 نفر دست به انتخاب می‌زنیم. یک نفر قبلاً انتخاب شده است؛
• حال آن‌ها را پُر می‌کنیم؛

در اینجا، کار ما تقریباً تمام شده، اما نه کاملاً. باید با برچسب‌های خود مشورت کنیم و بپرسیم: آیا همه‌ی برچسب‌ها متفاوت هستند یا اینکه تکرار می‌شوند؟ اگر همه‌ی آن‌ها متفاوت باشند که در این حالت، این‌گونه است؛ کار ما تمام شده است! ما فقط ضرب می‌کنیم تا تعداد کل گروه‌های کتاب ممکن را پیدا کنیم:

4*3*5*6=360 ترکیب ممکن

اما اگر برچسب‌های تکراری داشته باشیم، چه؟ در این حالت، مرحله‌ی دیگری را اضافه می‌کنیم:

• مرحله‌ی 1: برای هر تصمیمی که می‌گیرید، Slots ایجاد کنید.
• مرحله‌ی 2: به آن Slots با توجه به نوع موردی که آن‌ها را پُر می‌کند، برچسبی بزنید.
• مرحله‌ی 3: تعداد گزینه‌ها را برای هر Slot وارد کنید.
• مرحله‌ی 4: برای یافتن تعداد کل احتمال‌ها، ضرب کنید.
• مرحله‌ی 5: بپرسید آیا هر یک از برچسب‌ها تکرار می‌شود؟ اگر نمی‌شود، کار شما تمام است. اما اگر تکرار می‌شود،…

مثلاً، ما در حال تشکیل یک گروه آواز هستیم، بدون آنکه نقش کسی تعیین شده باشد. بنابراین، برچسب‌ها سوپرانو، آلتو، تنور و باس نیستند، بلکه فقط خواننده‌ها هستند (من از 'S' استفاده خواهم کرد):

الان، ما برچسب یکسان - S - را داریم که بیش از یک‌بار استفاده شده است. هر زمان که برچسبی بیش از یک‌بار استفاده شده باشد، باید آخرین مرحله را انجام دهید: تقسیم بر فاکتوریل تعداد برچسب‌های تکرار شده. (دلیل این امر آن است که ما عدد بزرگی داریم- 360 عدد بسیار بزرگی است. اگر می‌خواهید چالشی داشته باشید، ببینید آیا می‌توانید دلیل آن را بفهمید!)

در این حالت، ما چهار S تکراری داریم. بنابراین، بر 4 فاکتوریل تقسیم خواهیم کرد؛ و این روش ماست!

بررسی استراتژی ترکیبیات GRE

بیاید دوباره آن را مرور کنیم:

• مرحله‌ی 1: برای هر تصمیمی که می‌گیرید، Slots ایجاد کنید.
• مرحله‌ی 2: به آن Slots با توجه به نوع موردی که آن‌ها را پُر می‌کند، برچسبی بزنید.
• مرحله‌ی 3: تعداد گزینه‌ها را برای هر Slot وارد کنید.
• مرحله‌ی 4: برای یافتن تعداد کل احتمال‌ها، ضرب کنید.
• مرحله‌ی 5: بپرسید - آیا هر یک از برچسب‌ها تکرار می‌شود؟ اگر نمی‌شود، کار شما تمام است. اما اگر تکرار می‌شود، آن را بر فاکتوریل تعداد برچسب‌های تکرار شده تقسیم کنید.

نکته‌ی آخر- اگر چندین برچسب تکراری دارید، بیایید فرض کنیم 4 S و و 3 Y (فقط به ‌صورت تصادفی، در اینجا حروف را انتخاب کردیم)، فقط بر فاکتوریل هر دو تقسیم کنید: 4! x 3! یا 4 x 3 x 2 x 2 x 3 x 2 x 1.