خواص بخش‌پذیری در ریاضی GRE | بروزرسانی 1404

نکات کلیدی بخش‌پذیری

• ⚡ سرعت و دقت: یادگیری قوانین بخش‌پذیری، نیاز به محاسبات طولانی و ماشین‌حساب را در آزمون حذف می‌کند.
• 🔢 تحلیل اعداد اول: تجزیه به عوامل اول (Prime Factorization) هسته اصلی حل سوالات دشوار بخش‌پذیری است.
• 🧩 قوانین ترکیبی: یادگیری چگونگی ترکیب قوانین (مانند قانون 6، 12 و 15) برای اعداد بزرگ حیاتی است.
• 🧮 باقی‌مانده‌ها: تکنیک‌های یافتن باقی‌مانده بدون تقسیم مستقیم، یکی از پرتکرارترین مباحث GRE است.
• ❌ استراتژی حذف گزینه: استفاده از بخش‌پذیری برای رد گزینه‌های غلط در سوالات چندگزینه‌ای و مقایسه کمی (QC).

تسلط بر خواص بخش‌پذیری در ریاضی GRE؛ شاه‌کلید سرعت در بخش Quant

بخش استدلال کمی (Quantitative Reasoning) در آزمون GRE تنها یک امتحان ریاضی ساده نیست؛ بلکه آزمونی برای سنجش توانایی شما در تحلیل منطقی اعداد و یافتن راه‌حل‌های هوشمندانه در کمترین زمان ممکن است. بسیاری از داوطلبان تصور می‌کنند که دانستن چهار عمل اصلی برای موفقیت کافی است، اما وقتی با محدودیت زمانی مواجه می‌شوند، درمی‌یابند که روش‌های سنتی پاسخگو نیستند. در این میان، «خواص بخش‌پذیری» (Divisibility Rules) به عنوان یکی از ستون‌های اصلی نظریه اعداد (Number Theory)، ابزاری قدرتمند برای دور زدن محاسبات سنگین است.

در این مقاله جامع، ما نه تنها قوانین ساده را مرور می‌کنیم، بلکه به عمق مفاهیم ریاضیاتی می‌رویم که طراحان سوالات GRE عاشق آن‌ها هستند. از ارتباط میان اعداد اول و بخش‌پذیری گرفته تا تکنیک‌های پیشرفته برای حل سوالات «مقایسه کمی» (Quantitative Comparison)، همه چیز را بررسی خواهیم کرد. همچنین با توجه به هزینه آزمون که مبلغ قابل توجهی برای داوطلبان ایرانی است، یادگیری این تکنیک‌ها برای جلوگیری از تکرار آزمون و هدر رفتن سرمایه ضروری است.

چرا بخش‌پذیری در GRE حیاتی است؟

در آزمون GRE، شما اجازه استفاده از یک ماشین‌حساب ساده را دارید. اما طراحان سوال به گونه‌ای اعداد را انتخاب می‌کنند که استفاده از ماشین‌حساب زمان‌برتر از حل ذهنی باشد. برای مثال، اگر سوال از شما بخواهد باقی‌مانده تقسیم 1035 + 210^{35} + 21035 + 2 بر 9 را پیدا کنید، هیچ ماشین‌حسابی نمی‌تواند این عدد را نمایش دهد. اینجاست که خواص بخش‌پذیری وارد عمل می‌شوند.

صرفه‌جویی در زمان: میانگین زمان برای هر سوال در بخش کوانت حدود 1 دقیقه و 45 ثانیه است. تشخیص سریع اینکه آیا عدد 123,456 بر 3 بخش‌پذیر است یا خیر، باید زیر 3 ثانیه انجام شود. این سرعت عمل، زمان را برای سوالات پیچیده‌تر ذخیره می‌کند.

• کاربرد عملی: استفاده از قوانین بخش‌پذیری به شما امکان می‌دهد محاسبات پیچیده را بدون ماشین‌حساب حل کنید و از اتلاف زمان جلوگیری کنید.
• پشتیبانی در مقایسه کمی: در سوالات Quantitative Comparison، بخش‌پذیری کمک می‌کند گزینه‌های نادرست را سریع حذف کنید.

قوانین پایه‌ای بخش‌پذیری (مرور سریع و نکات انحرافی)

بیایید قوانین را از ساده به پیچیده بررسی کنیم و ببینیم در منابع آزمون GRE چگونه مطرح می‌شوند.

• بخش‌پذیری بر 2: اگر رقم یکان عدد زوج باشد (0، 2، 4، 6، 8)، آن عدد بر 2 بخش‌پذیر است.
  نکته GRE: در سوالات جبری، اگر nnn یک عدد صحیح باشد، عبارت 2n2n2n همیشه زوج و 2n+1 2n+1 2n+1 همیشه فرد است.
• بخش‌پذیری بر 3: اگر مجموع ارقام یک عدد بر 3 بخش‌پذیر باشد، خود آن عدد نیز بر 3 بخش‌پذیر است.
  مثال: آیا عدد 5,721 بر 3 بخش‌پذیر است؟
  5+7+2+1=15 → 15 بر 3 بخش‌پذیر است، پس 5,721 هم بخش‌پذیر است.
  استراتژی پیشرفته: نیازی به جمع کل ارقام نیست. مضارب 3 را حذف کرده و مجموع دو رقم را بررسی کنید.
• بخش‌پذیری بر 4: اگر دو رقم سمت راست عدد بر 4 بخش‌پذیر باشند، کل عدد بر 4 بخش‌پذیر است.
  کاربرد GRE: در سوالات توان‌دار و یافتن رقم یکان مفید است.
• بخش‌پذیری بر 5: اگر رقم یکان 0 یا 5 باشد.
  نکته: در تجزیه اعداد، توان‌های 5 نقش مهمی در تعداد صفرهای جلوی عدد دارند.
• بخش‌پذیری بر 6 (قانون ترکیبی): عدد باید هم بر 2 و هم بر 3 بخش‌پذیر باشد.
  مثال: آیا 432 بر 6 بخش‌پذیر است؟
  1. زوج است؟ بله (یکان 2)
  2. مجموع ارقام بر 3 بخش‌پذیر است؟ 4+3+2=9 → بله
  نتیجه: بله، بر 6 بخش‌پذیر است.
• بخش‌پذیری بر 8: اگر سه رقم سمت راست عدد بر 8 بخش‌پذیر باشند.
  کاربرد: برای اعداد بسیار بزرگ و ساده‌سازی کسرها مفید است.
• بخش‌پذیری بر 9: اگر مجموع ارقام بر 9 بخش‌پذیر باشد.
  نکته مهم: باقی‌مانده تقسیم هر عدد بر 9 برابر با باقی‌مانده جمع ارقام آن است.
  مثال: 123,456 → جمع ارقام: 1+2+3+4+5+6=21 → 21÷9 باقی‌مانده 3 → باقی‌مانده عدد اصلی هم 3 است.
• بخش‌پذیری بر 10: رقم یکان باید 0 باشد.
• بخش‌پذیری بر 11: ارقام را یکی در میان مثبت و منفی جمع کنید. اگر حاصل 0 یا مضربی از 11 شد، عدد بر 11 بخش‌پذیر است.
  مثال: 1331 → +1−3+3−1=0 → بخش‌پذیر است.
• بخش‌پذیری بر 12 (قانون ترکیبی پیشرفته): عدد باید هم بر 3 و هم بر 4 بخش‌پذیر باشد.
  اشتباه رایج: فکر کردن به 2 و 6 اشتباه است چون نسبت به هم اول نیستند.
  12=3×4 ✔ صحیح
  12=2×6 ✖ غلط برای تست بخش‌پذیری ترکیبی

بخش‌پذیری و اعداد اول (Prime Numbers)

یکی از مفاهیم کلیدی که در کلاس‌های آمادگی و تدریس خصوصی GRE بر آن تاکید می‌شود، ارتباط بخش‌پذیری با اعداد اول است.

قضیه اساسی حساب (Fundamental Theorem of Arithmetic)

هر عدد صحیح بزرگتر از 1، یا اول است یا می‌توان آن را به صورت حاصل‌ضرب اعداد اول نوشت. این تجزیه یکتاست.

مثال: 60 = 2² × 3¹ × 5¹

چگونه از تجزیه برای بخش‌پذیری استفاده کنیم؟

در GRE سوالاتی مطرح می‌شود مانند: «آیا عدد xxx بر yyy بخش‌پذیر است؟» روش حل اصولی:

1. عدد xxx را به عوامل اول تجزیه کنید.
2. عدد yyy را نیز به عوامل اول تجزیه کنید.
3. اگر تمام عوامل اول موجود در yyy، در xxx نیز با توانی بزرگتر یا مساوی وجود داشته باشند، آنگاه xxx بر yyy بخش‌پذیر است.

مثال عملی

اگر x = 2³ × 3² × 5 و y = 12، آیا x بر y بخش‌پذیر است؟

تجزیه y (یعنی 12): 12 = 2² × 3¹

• عامل 2: در x توان 3 است، در y توان 2. (3 ≥ 2 ✔️)
• عامل 3: در x توان 2 است، در y توان 1. (2 ≥ 1 ✔️)

چون هر دو شرط برقرار است، پس x بر 12 بخش‌پذیر است.

مبحث باقی‌مانده‌ها (Remainders) و بخش‌پذیری

بخش‌پذیری در واقع حالت خاصی از تقسیم است که در آن باقی‌مانده صفر است. اما GRE عاشق باقی‌مانده‌های غیر صفر است.

فرمول طلایی

Dividend = Divisor × Quotient + Remainder
(مقسوم = مقسوم‌علیه × خارج‌قسمت + باقی‌مانده)
با شرط: 0 ≤ Remainder < Divisor

تکنیک‌های تست‌زنی باقی‌مانده

1. جمع‌پذیری باقی‌مانده‌ها: باقی‌مانده (A + B) بر n برابر است با مجموع باقی‌مانده‌های تک‌تک آن‌ها بر n.
2. ضرب‌پذیری باقی‌مانده‌ها: باقی‌مانده (A × B) بر n برابر است با حاصل‌ضرب باقی‌مانده‌های تک‌تک آن‌ها بر n.

مثال عملی

باقی‌مانده تقسیم 17 × 19 بر 5 چقدر است؟
به جای ضرب کردن 17 در 19:

• باقی‌مانده 17 بر 5 = 2
• باقی‌مانده 19 بر 5 = 4
• حاصل‌ضرب باقی‌مانده‌ها: 2 × 4 = 8
• باقی‌مانده 8 بر 5 = 3

نتیجه نهایی: 3
این تکنیک در سوالات پیچیده زمان زیادی برای شما ذخیره می‌کند.

استراتژی‌های حل سوالات Data Interpretation با استفاده از بخش‌پذیری

شاید عجیب به نظر برسد، اما بخش‌پذیری در تفسیر نمودارها و جداول هم کاربرد دارد.

فرض کنید در یک جدول، تعداد کارمندان یک شرکت داده شده و سوال می‌گوید 15% از کارمندان بخش فروش ترفیع گرفته‌اند.
نکته پنهان: تعداد کارمندان (انسان‌ها) باید عدد صحیح باشد. بنابراین تعداد کارمندان بخش فروش باید عددی باشد که 15% آن صحیح شود.

فرمول: 0.15 × N = Integer
یا به صورت کسری: 3/20 × N = Integer

این یعنی N (تعداد کل کارمندان) حتماً باید بر 20 بخش‌پذیر باشد. اگر گزینه‌ها اعدادی مثل 45، 50، 60، 75 باشند، تنها گزینه 60 بر 20 بخش‌پذیر است. بدون هیچ محاسبه اضافه‌ای به جواب می‌رسید!

سوالات مقایسه کمی (Quantitative Comparison)

در این بخش از آزمون، شما باید مقدار A و مقدار B را مقایسه کنید. خواص بخش‌پذیری ابزار اصلی برای رد گزینه‌ها هستند.

مثال عملی

مقدار A: باقی‌مانده تقسیم n بر 5
مقدار B: باقی‌مانده تقسیم n + 10 بر 5
شرط: n یک عدد صحیح مثبت است.

تحلیل

عدد 10 بر 5 بخش‌پذیر است. طبق قانون جمع‌پذیری باقی‌مانده‌ها، اضافه کردن مضربی از مقسوم‌علیه (در اینجا 5) به عدد، باقی‌مانده را تغییر نمی‌دهد. بنابراین باقی‌مانده (n + 10) بر 5 دقیقاً همان باقی‌مانده n بر 5 است.

نتیجه: دو مقدار با هم برابرند (گزینه C).

اشتباهات متداول داوطلبان در مبحث بخش‌پذیری

• خلط مبحث اعداد اول و فرد: همه اعداد اول فرد هستند (به جز 2)، اما همه اعداد فرد اول نیستند (مثل 9). این اشتباه ساده باعث از دست رفتن نمره در سوالات 'All apply' می‌شود.
• فراموش کردن صفر: صفر بر تمام اعداد صحیح (غیر از خود صفر) بخش‌پذیر است.
  مثال: 0 ÷ 5 = 0 با باقی‌مانده 0.
  در سوالاتی که می‌گویند xxx یک «عدد صحیح» (Integer) است، فراموش نکنید که xxx می‌تواند صفر یا منفی باشد.
• قوانین من‌درآوردی: مثلاً تصور اینکه اگر عددی بر 3 و 5 بخش‌پذیر نیست، پس بر 15 هم بخش‌پذیر نیست (این درست است)، اما اگر بر 15 بخش‌پذیر نباشد لزوماً به این معنی نیست که بر هیچ‌کدام بخش‌پذیر نیست.

مدیریت هزینه و منابع با یادگیری صحیح

شاید بپرسید ارتباط این مباحث با هزینه آزمون GRE چیست؟ آزمون GRE در حال حاضر یکی از گران‌ترین آزمون‌های بین‌المللی برای ایرانیان است. هر بار ثبت نام هزینه‌ای چند صد دلاری دارد. عدم تسلط بر مباحث پایه‌ای مثل بخش‌پذیری باعث می‌شود شما در بخش اول کوانت (که تطبیقی است) عملکرد متوسطی داشته باشید و به بخش دوم دشوار راه پیدا نکنید، در نتیجه نمره شما زیر 160 خواهد ماند.

سرمایه‌گذاری روی یادگیری عمیق و استفاده از منابع معتبر و کلاس‌های استاندارد، در واقع نوعی بیمه کردن هزینه آزمون است تا با یک بار شرکت، به نمره دلخواه برسید.

کاربرد بخش‌پذیری در ساده‌سازی کسرها

بخش بزرگی از سوالات جبری و هندسی به کسرهای پیچیده ختم می‌شوند. تشخیص سریع اینکه صورت و مخرج بر چه عددی بخش‌پذیرند، کلید حل سوال است.

مثال عملی

ساده‌سازی کسر: 1001 / 143

• آیا بر 2 بخش‌پذیرند؟ خیر.
• آیا بر 3 بخش‌پذیرند؟ صورت: 1+0+0+1 = 2 → خیر.
• آیا بر 11 بخش‌پذیرند؟
  • صورت: 1−0+0−1 = 0 → بله
  • مخرج: 1−4+3 = 0 → بله

پس هر دو را بر 11 تقسیم می‌کنیم:

• 1001 ÷ 11 = 91
• 143 ÷ 11 = 13

کسر تبدیل شد به 91 / 13. حالا چک می‌کنیم: 91 بر 13 بخش‌پذیر است؟ 13 × 7 = 91 → بله. جواب نهایی: 7

بدون دانستن قانون بخش‌پذیری بر 11، این ساده‌سازی دقیقه‌ها طول می‌کشید. این مثال نشان می‌دهد که بخش‌پذیری، ابزاری کلیدی برای صرفه‌جویی در زمان و حل سریع کسرها در GRE است.

نقش بخش‌پذیری در سوالات جبری پیشرفته

گاهی اوقات سوالات به صورت مستقیم عدد نمی‌دهند.

سوال مثال

اگر x و y اعداد صحیح مثبت باشند و 5x + 3y = 100، چند مقدار ممکن برای x وجود دارد؟

تحلیل با بخش‌پذیری

• 5x همیشه مضرب 5 است.
• 100 مضرب 5 است.
• برای اینکه تساوی برقرار باشد، 3y هم باید مضرب 5 باشد.
• چون 3 و 5 نسبت به هم اول هستند، پس خود y باید مضرب 5 باشد: y = 5, 10, 15, …

حداکثر مقدار y اگر x حداقل 1 باشد:
5(1) + 3y = 100 → 3y = 95 (بخش‌پذیر بر 3 نیست)

این نوع تحلیل به شما اجازه می‌دهد محدوده‌ها را سریع پیدا کنید. با یافتن اولین جواب صحیح، می‌توانید از الگوی بخش‌پذیری برای یافتن بقیه جواب‌ها استفاده کنید.

جمع‌بندی نکات برای روز آزمون

این نکات به شما کمک می‌کنند در بخش کوانت GRE سریع‌تر و دقیق‌تر عمل کنید.

موسسه آموزشی زنگنه: همراه شما در مسیر موفقیت GRE