می دانیم مجموع، تفاضل و حاصل ضرب هر دو عدد صحیح عددی صحیح است اما تقسیم عددی صحیح بر عدد صحیح دیگری لزوما عددی صحیح نیست.
اگر a و b دو عدد صحیح باشند و b نا صفر، گوییم a بر b بخشپذیر(a is divisible by b) است هرگاه عدد صحیحی مثل c وجود داشته باشد به طوری که a=bc.
اگر a بر b بخشپذیر باشد، b را عامل (factor) از a گوییم.
مثال: 18 بر 6 بخشپذیر است چون 6×3=18. اما 18 بر 5 بخشپذیر نیست.
فرض کنیم که a و b و c اعدادی صحیح باشند (b و c ناصفر). در این صورت:
- اگر a بر b بخشپذیر باشد آنگاه a بر –b و –a بر b نیز بخشپذیر است.
مثلا 12 بر 3 بخشپذیر است. همینطور 12 بر 3- (4-×3-=12) و 12- بر3 (4-×3=12-) بخشپذیر است.
- اگر c عاملی از ab باشد و c عاملی از a نباشد آنگاه c عاملی از b است.
If 9 is a factor of integer number 35t which of following could be the value of t?
(I) 64 (II) 654975 (III) 9
9 must be a factor of 35 or t. since 9 is not a factor of 35 then must be a factor of t. (II) and (III) are divisible by 9. Thus the answer is (II, III)
- اگر c عاملی از a باشد آنگاه c عاملی از مضارب a نیز هست.
مثلا 7 عاملی از 21 است همچنین 7 عاملی از 21×5=105 نیز هست.
- اگر c عاملی از دو عدد صحیح باشد آنگاه c عاملی از مجموع یا تفریق آن ها نیز هست.
مثال: 9 عاملی از 27 و 45 است. همچنین 9 عاملی از 45+27=72 نیز هست.
در واقع در حالت کلی:
اگر c عاملی از a و عاملی از b باشد آنگاه c عاملی از ax+by نیز هست ( که x و y اعدادی صحیح هستند).
مثال: 6 عاملی از 18 و 24 است. همینطور 6 عاملی از6=48-54=24×2-18×3 نیز هست.
- اگر c عاملی از a باشد آنگاه |c|≤|a|.
- اگر c عاملی از b و b عاملی از a باشد آنگاه c عاملی از a نیز هست.
مثلا 15 عاملی از 30 و 30 عاملی از 150 است پس 15 عاملی از 150 نیز هست.
Let a, b be integers and 11 be a factor of 6a-b and also 2a-3b. Which of the following must be divisible by 11?
(I) 1 (II) 10a-15b (III) 0 (IV) 4a+2b
Clearly (I) is impossible. 10a-5b=5(2a-3b), then this is possible and (III) is obviously possible.
4a+2b=6a-b-(2a-3b), thus this is possible too. Then the answer is (II, III, IV).
مضرب مشترک (common multiple):
فرض کنیم a و b اعداد صحیح ناصفری باشند. عدد صحیح c را مضرب مشترک a و b گوییم هرگاه a و b عامل c باشند.
مثلا 42 مضرب مشترک 2 و 3 است.
اگر t عدد صحیحی باشد آنگاه tab مضرب مشترکی از a و b است. بنابراین دو عدد صحیح بینهایت مضرب مشترک دارند.
در میان مضرب های مشترک a و b کوچکترین آن ها را کوچکترین مضرب مشترک (least common multiple) آن دو گوییم و با نماد LCM(a,b) یا [a,b] می دهیم.
هر مضرب مشترک a و b بر [a,b] بخشپذیر است.
- اگر اعداد a و b عامل مشترک نداشته باشند آنگاه کوچترین مضرب مشترک آن ها حاصلضربشان است.
مثال: کوچکترن مضرب مشترک 15 و 17 برابر است با 15×17=255
- اگر a یک عامل b باشد آنگاه [a,b]=|b|.
- اگر a,b]=L] آنگاه ca , cb]=cL] (که c یک عدد صحیح دلخواه است.)
- اگر a,b]=L] آنگاه an,bn]=Ln] .
If n is the smallest of three consecutive positive integers, which of the following must be true?
(A) n is divisible by 3 (B) n is even (C) n is odd
(D) (n)(n+2) is even (E) n(n+1)(n+2) is divisible by 3
چون n یک عدد دلخواه است بنابراین می تواند بر 3 بخشپذیر باشد یا نباشد همچنین فرد یا زوج باشد. پس سه گزینه اول رد می شوند. از طرفی اگر n زوج یا فرد باشد آنگاه (n+2) نیز به ترتیب زوج یا فرد است، پس گزینه (D) نیز رد می شود. در نتیجه گزینه (E) درست است. در واقع چون مضارب 3 دو تا در میان قرار دارند بنابراین یکی از اعداد n یا n+1 یا n+2 باید بر 3 بخشپذیر باشد.(همچنین یکی از این اعداد باید زوج باشد پس حاصلضرب هر سه عدد صحیح متوالی همواره بر 6 بخشپذیر است)
If the integer x is divisible by 3 but not by 2, then which one of the following expressions is NEVER an integer?
(A) (x+1)/2 (B) x/7 (C) x2/3 (D)x3/3 (E) x/24
برای رد کردن گزینه (A) کافیست به x مقدار 3 و برای رد کردن گزینه (B) کافیست به x مقدار 21 بدهیم. از طرفی چون 3 عاملی از x است بنابراین 3 عاملی از هر مضرب x یا توانی از x نیز هست، پس گزینه های (C) و (D) نیز رد می شوند. بنابراین گزینه (E) جواب سوال است. ( در واقع 2 عاملی از 24 است پس برای اینکه x/24 عددی صحیح شود یعنی 24 عامل x باشد، x هم باید عامل 2 داشته باشد که با فرض در تناقض است)
If (x+y)/(x-y)=3 and x and y are integers, which one of the following must be true?
(A) x is divisible by 4 (B) y is odd (C) y is even
(D) x is even (E) x is a irreducible fraction
x+y =3 (x-y) → 2x=4y → x=2y
بنابراین x عددی زوج است و چون فقط یکی از گزینه ها درست است پس جواب گزینه (D) است.
If least common multiple of 2n and 2n-1 is 30 then what is the value of n3-n2+1?
2n و 2n-1 دو عدد متوالی اند که عامل هایی از 30 هستند. تنها مقادیر ممکن برای آن ها 5 و 6 است. پس n=3 در نتیجه جواب برابر است با 19=1+9-27.
Let M be the least common factor of two positive integers a and b. If M=5a+14 then what is maximum difference of a and b?
a و b عامل هایی از M هستند. چون a عاملی از 5a است پس باید عاملی از 14 نیز باشد. پس a می تواند 5 یا 2 یا 7 یا 14 باشد.اگر به a مقادیر 2 یا 5 یا 7 یا 14 را بدهیم آنگاه برای M به ترتیب مقادیر 24 و 39 و 49 و 84 را خواهیم داشت. چون بیشترین مقدار تفاضل را میخواهیم کافیست b را برابر با M قرار دهیم. بیشترین مقدار برای b=84 بدست می آید.
70=84-14.
If a and b and c are integers and bc is divisible by a and b is not divisible by a then which of following must be true?
(I) LCM(b,bc) is divisible by c (II) LCM(b , bc) is divisible by a (III) c is divisible by a
چون b عامل bc است پس [b,bc]=|bc| بنابراین گزینه 1 نادرست است (|bc|>|c|). اما با توجه به فرض گزینه (II) درست است. همینطور می دانیم که اگر a عاملی از bc باشد و عاملی از b نباشد پس باید عاملی از c باشد. پس گزینه (III) نیز درست است. در نتیجه جواب گزینه های (II) و (III) است.
If for two positive integers a and b and every positive integer n, the number bn is a factor of an, which one is not true?
(A) b is a factor of a (B) [a,b]=a (C) [a2,b]=ab (D) [a4,b2 ]=a4
اگر به n مقدار 1 بدهیم آنگاه b عاملی از a است پس گزینه های A و B درستند. همینطور اگر به n مقدار 2 بدهیم آنگاه b2 عاملی از a2 است و چون a2 عاملی از a4 است پس گزینه D نیز درست است. پس جواب گزینه C است. در واقع b عاملی از a است پس a2,b]=a2 ].