برنامه کلاس های آنلاین مجموعه زنگنه

یادگیری خواص بخش پذیری

یادگیری خواص بخش پذیری

اعداد زوج (even) اعداد صحیحی هستند که بر2 بخش پذیرهستند: 

  …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8,10, …

رقم یکان این اعداد 0 و 2 و 4 و 6 و 8 هستند. مثلا 156 و 74810 و 586492 زوج هستند.

بنابراین باقیمانده تقسیم هر عدد زوج بر 2 برابر است با 0، پس هر عدد زوج را می توان به صورت 2k نمایش داد (k عددی صحیح است) مثلا 17×2=34.

اعداد فرد (odd) اعداد صحیحی هستند که بر 2 بخش پذیر نیستند:

…, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, …

رقم یکان این اعداد 1 و 3 و 5 و 7 و 9 هستند. مثلا 253 و 14841 و 18761327 فرد هستند.

بنابراین باقیمانده تقسیم هر عدد فرد بر 2 برابر است با 1، پس هر عدد فرد را می توان به صورت 2k+1 نمایش داد (k عددی صحیح است) مثلا 1+23×2=47. همانطور که میبینیم هر عدد صحیح یا زوج است و یا فرد. در واقع اعداد زوج و فرد به صورت یکی در میان ظاهر می شوند. می دانیم مجموع، تفاضل و حاصل ضرب هر دو عدد صحیح عددی صحیح است اما تقسیم عددی صحیح بر عدد صحیح دیگری لزوما عددی صحیح نیست.

اگر a و b دو عدد صحیح باشند و b نا صفر، گوییم a بر b بخشپذیر(a is divisible by b) است هرگاه عدد صحیحی مثل c وجود داشته باشد به طوری که a=bc.

اگر a بر b بخشپذیر باشد، b را عامل (factor) از  a گوییم.

مثال: 18 بر 6 بخشپذیر است چون 6×3=18. اما 18 بر 5 بخش پذیر نیست.

فرض کنیم که a و b و c اعدادی صحیح باشند (b و c ناصفر). در این صورت:

  • اگر a  بر b بخشپذیر باشد آنگاه a بر –b و –a  بر b نیز بخشپذیر است.

مثلا 12 بر 3 بخشپذیر است. همینطور 12 بر 3- (4-×3-=12) و 12- بر3 (4-×3=12-) بخشپذیر است.

  • اگر c عاملی از ab باشد و c عاملی از a نباشد آنگاه c عاملی از b است.

If 9 is a factor of integer number 35t which of following could be the value of t?

(I) 64           (II) 654975          (III) 9

9 must be a factor of 35 or t. since 9 is not a factor of 35 then must be a factor of t. (II) and (III) are divisible by 9. Thus the answer is (II, III)

  • اگر c عاملی از a باشد آنگاه c عاملی از مضارب a نیز هست.

مثلا 7 عاملی از 21 است همچنین 7 عاملی از 21×5=105 نیز هست.

  • اگر c عاملی از دو عدد صحیح باشد آنگاه c عاملی از مجموع یا تفریق آن ها نیز هست.

مثال: 9 عاملی از 27 و 45 است. همچنین 9 عاملی از 45+27=72 نیز هست.

 در واقع در حالت کلی:

اگر  c عاملی از a و عاملی از b باشد آنگاه c عاملی از ax+by نیز هست ( که x و y اعدادی صحیح هستند).

مثال: 6 عاملی از 18 و 24 است. همینطور 6 عاملی از6=48-54=24×2-18×3  نیز هست.

  • اگر c عاملی از a باشد آنگاه |c|≤|a|.
  • اگر c عاملی از b و b عاملی از a باشد آنگاه c عاملی از a نیز هست.

مثلا 15 عاملی از 30 و 30 عاملی از 150 است پس 15 عاملی از 150 نیز هست.

Let a, b be integers and 11 be a factor of 6a-b and also 2a-3b. Which of the following must be divisible by 11?

(I) 1      (II) 10a-15b    (III) 0    (IV) 4a+2b

Clearly (I) is impossible. 10a-5b=5(2a-3b), then this is possible and (III) is obviously possible.

4a+2b=6a-b-(2a-3b), thus this is possible too. Then the answer is (II, III, IV).




مضرب مشترک (common multiple):

فرض کنیم a و b اعداد صحیح ناصفری باشند. عدد صحیح c را مضرب مشترک a و b گوییم هرگاه a و b  عامل c باشند.

مثلا 42 مضرب مشترک 2 و 3 است.  

اگر t عدد صحیحی باشد آنگاه tab مضرب  مشترکی از a و b است. بنابراین دو عدد صحیح بینهایت مضرب مشترک دارند.

در میان مضرب های مشترک a و b کوچکترین آن ها را کوچکترین مضرب مشترک (least common multiple) آن دو گوییم و با نماد LCM(a,b) یا  [a,b] می دهیم.

هر مضرب مشترک a و b بر [a,b] بخشپذیر است.

  • اگر اعداد a و b عامل مشترک نداشته باشند آنگاه کوچترین مضرب مشترک آن ها حاصلضربشان است.

مثال: کوچکترن مضرب مشترک 15 و 17 برابر است با 15×17=255

  • اگر a یک عامل b باشد آنگاه [a,b]=|b|.
  • اگر a,b]=L] آنگاه ca , cb]=cL] (که c یک عدد صحیح دلخواه است.)
  • اگر a,b]=L] آنگاه an,bn]=Ln]        

باقی مانده

فرض کنید میخواهیم 34 را بر 8  تقسیم کنیم.

به عبارت دیگر داریم:  34=8×4+2

در تقسیم مقابل عدد 34 را مقسوم (dividend)، عدد 8 را مقسوم علیه  (divisor)، عدد 4 را خارج قسمت  (quotient) و عدد 2 را باقیمانده (remainder) گویند.

در حالت کلی  برای عدد دلخواه x و مقسوم علیه  D فرمول زیر را داریم:                                                                                           

همواره تقسیم را تا جایی ادامه میدهیم که باقیمانده کمتر از D باشد. پس باقیمانده یکی از مقدارهای 0 یا 1 یا ... یا D-1 است.

 اگر باقیمانده 0 باشد آنگاه گوییم x بر D بخشپذیر است. (x is divisible by D)

 گاهی برای یافتن باقیمانده نیازی به انجام عمل تقسیم نیست:

  • باقیمانده تقسیم یک عدد بر 2: اگر عدد زوج باشد باقیمانده صفر است و اگر عدد زوج باشد باقیمانده فرد است.
  • باقیمانده تقسیم یک عدد بر 3:  باقیمانده برا بر است با باقیمانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 3.
  • باقیمانده 974 بر 3 برابر است با تقسیم 9+7+4=20  بر 3 که برابر است با 2.
  • باقیمانده تقسیم یک عدد بر 4: کافیست باقیمانده دو رقم سمت راست عدد بر 4 را بدست آوریم .
  • باقیمانده تقسیم  48763146 بر 4 برابر است با باقیمانده تقسیم 46 بر 4 که برابر است با 2.
  • باقیمانده تقسیم یک عدد بر 5: اگر رقم یکان کمتر از 5 بود، باقیمانده همان عدد است ولی اگر بیشتر از 5 بود کافیست 5 واحد از آن کم کنیم.
  • باقیمانده 3584 بر 5 برابر است با 4 و باقیمانده 6428 بر 5 برابر است با 3=5-8
  • باقیمانده تقسیم یک عدد بر 8: کافیست باقیمانده 3 رقم سمت راست آن عدد بر 8 را بدست آوریم.
  • باقیمانده یک عدد تقسیم بر 9: ارقام آن عدد را آنقدر با هم جمع می کنیم تا حاصل عددی یک رقمی شود.
  • باقیماند ه تقسیم 37954 بر 9 چیست؟ 4+7+9+5+4=29 و 2+9=11 و 1+1=2. پس باقیمانده برابر است با 2.
  • باقیمانده تقسیم یک عدد بر 10: برابر است با رقم یکان آن عدد.
این مطلب را با دوستان خود به اشتراک بگذارید

مطالب مرتبط

6 نکته برای اینکه در طول آزمون GRE خونسردی تون رو حفظ کنید!

6 نکته برای اینکه در طول آزمون GRE خونسردی تون رو حفظ کنید!

شما هم قبل از امتحان دلتون هُرّی می ریزه؟ حتی سر جلسه ی آزمون آزمایشی GRE ؟ منم همین طور، با اینکه هشت ساله دارم توی آزمون های GRE شرکت می کنم. من در طول این سالها چندتا فن یاد گرفتم که کمکم میکنه در طول آزمون GRE آرامش خودمو حفظ کنم و نمره ی عالی بگیرم، ا ...

بیشتر بخوانید
5 راه برای انتخاب برنامه کارشناسی ارشد

5 راه برای انتخاب برنامه کارشناسی ارشد

پیدا کردن برنامه های تحصیلات تکمیلی متناسب با حرفه و نیاز های شما می تواند خسته کننده باشد. با توجه به میانگین هزینه یک فارغ التحصیل در ایالات متحده حدودا از $ 30،000 تا $ 120،000 ، سرمایه گذاری بزرگی در آینده است که نمی توانید به آسانی از آن بگذرید.حتی پی ...

بیشتر بخوانید
6 ایراد معمول در رایتینگ تحلیلی GRE

6 ایراد معمول در رایتینگ تحلیلی GRE

مفروضات بدون ارائه دلیل یکی از معمول ترین ایرادهای موجود در بخش تحلیل استدلال در آزمون GRE است. میدونید که توی این بخش شما باید یک استدلال داده شده رو نقد کنید و ایرادهای معمولش رو پیدا کنید. این UNJUSTIFIED ASSUMPTIONS خیلی مهمه مثلا این نمونه رو ببینید: ...

بیشتر بخوانید
7 عادت خوب در مطالعه GRE

7 عادت خوب در مطالعه GRE

تو این مقاله، من می‌خوام یک توصیه مطالعاتی کوچیک رو با شما در میون بذارم. این سخنیه که من قاطعانه باور دارم که درسته: '30 دقیقه مطالعه‌ی با تمرکز بالا بهتر از 2 ساعت مطالعه‌ی نیم‌بنده.' هر چقدر فرد تلاش کنه از طریق یک جلسه‌ی ماراتون‌گونه‌ی پایان هفته‌ای چ ...

بیشتر بخوانید
 7راه برای جلوگیری از اشتباهات نسنجیده ریاضی GRE

7راه برای جلوگیری از اشتباهات نسنجیده ریاضی GRE

اگر در آزمون GRE شکست خوردید هیچ جای نگرانی ندارد، زیرا بیش از حد سخت است. آزمون به این روش طراحی شده است. سوالاتی در GRE وجود دارد که حتی نابغه های ریاضی را هم در میان ما به چالش می کشد. با این حال، خیلی ناامید کننده است که فقط به خاطر یک اشتباه احمقانه ...

بیشتر بخوانید
 9روش برای یادگیری GRE در اتوبوس

9روش برای یادگیری GRE در اتوبوس

آیا وقتی در اتوبوس یا در اتاق انتظار نشسته اید وقت اضافی دارید؟ با این روش ها وقت خود را صرف خواندن GRE کنید. ...

بیشتر بخوانید
10 روش جدید برای مطالعه لغات آزمون GRE

10 روش جدید برای مطالعه لغات آزمون GRE

اولین بار که می خواستم در GRE شرکت کنم، فکر میکردم میتوانم به راحتی آن را انجام دهم و برآن فائق بیایم. این هم یک نه دیگر. نمره ریاضی فوق العاده بود. اما فقدان دانش من از لغات من را به کشتن داد. پس باید آن را یاد می گرفتم. و تا 1600 لغت هم یاد گرفتم. همه ما ...

بیشتر بخوانید
GMAT یا GRE؟

GMAT یا GRE؟

خیلی از کسانی که هدفشون ورود به MBA هست مردد هستن که آزمون GRE رو انجام بدن یا GMAT ؟اساسا آزمون GMAT همواره معیار تعیین سطح استعداد تحصیلی در Business Schools بوده اما مدتی میشه که آزمون GRE البته بعد از تغییراتی که در سال 2011 انجام داد، تونست رقیب خوب ...

بیشتر بخوانید
GRE Sentence Equivalence Questions

GRE Sentence Equivalence Questions

دو نوع سوال vocabulary 'جای خالی را پُر کنید' (Fill-In-the-Blank) تو GRE وجود داره: سوالای کامل کردن متن (Text Completion) و سوالای تشخیص معادل جملات (Sentence Equivalence). سوالات کامل کردن متن از شما می‌خواد تا یک، دو یا سه جای خالی رو فقط با یک کلمه پُر ...

بیشتر بخوانید
اولویت عملگرها در بخش ریاضی GRE

اولویت عملگرها در بخش ریاضی GRE

در ریاضیات رعایت ترتیب عملگرها از اهمیت ویژه ای برخورداره. ...

بیشتر بخوانید
ارسال دیدگاه

اطلاعات تحصیل در دیگر کشورها