یادگیری خواص بخش پذیری

اعداد زوج (even) اعداد صحیحی هستند که بر2 بخش پذیرهستند: 

  …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8,10, …

رقم یکان این اعداد 0 و 2 و 4 و 6 و 8 هستند. مثلا 156 و 74810 و 586492 زوج هستند.

بنابراین باقیمانده تقسیم هر عدد زوج بر 2 برابر است با 0، پس هر عدد زوج را می توان به صورت 2k نمایش داد (k عددی صحیح است) مثلا 17×2=34.

اعداد فرد (odd) اعداد صحیحی هستند که بر 2 بخش پذیر نیستند:

…, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, …

رقم یکان این اعداد 1 و 3 و 5 و 7 و 9 هستند. مثلا 253 و 14841 و 18761327 فرد هستند.

بنابراین باقیمانده تقسیم هر عدد فرد بر 2 برابر است با 1، پس هر عدد فرد را می توان به صورت 2k+1 نمایش داد (k عددی صحیح است) مثلا 1+23×2=47. همانطور که میبینیم هر عدد صحیح یا زوج است و یا فرد. در واقع اعداد زوج و فرد به صورت یکی در میان ظاهر می شوند. می دانیم مجموع، تفاضل و حاصل ضرب هر دو عدد صحیح عددی صحیح است اما تقسیم عددی صحیح بر عدد صحیح دیگری لزوما عددی صحیح نیست.

اگر a و b دو عدد صحیح باشند و b نا صفر، گوییم a بر b بخشپذیر(a is divisible by b) است هرگاه عدد صحیحی مثل c وجود داشته باشد به طوری که a=bc.

اگر a بر b بخشپذیر باشد، b را عامل (factor) از  a گوییم.

مثال: 18 بر 6 بخشپذیر است چون 6×3=18. اما 18 بر 5 بخش پذیر نیست.

فرض کنیم که a و b و c اعدادی صحیح باشند (b و c ناصفر). در این صورت:

• اگر a  بر b بخشپذیر باشد آنگاه a بر –b و –a  بر b نیز بخشپذیر است.

مثلا 12 بر 3 بخشپذیر است. همینطور 12 بر 3- (4-×3-=12) و 12- بر3 (4-×3=12-) بخشپذیر است.

• اگر c عاملی از ab باشد و c عاملی از a نباشد آنگاه c عاملی از b است.

If 9 is a factor of integer number 35t which of following could be the value of t?

(I) 64           (II) 654975          (III) 9

9 must be a factor of 35 or t. since 9 is not a factor of 35 then must be a factor of t. (II) and (III) are divisible by 9. Thus the answer is (II, III)

• اگر c عاملی از a باشد آنگاه c عاملی از مضارب a نیز هست.

مثلا 7 عاملی از 21 است همچنین 7 عاملی از 21×5=105 نیز هست.

• اگر c عاملی از دو عدد صحیح باشد آنگاه c عاملی از مجموع یا تفریق آن ها نیز هست.

مثال: 9 عاملی از 27 و 45 است. همچنین 9 عاملی از 45+27=72 نیز هست.

 در واقع در حالت کلی:

اگر  c عاملی از a و عاملی از b باشد آنگاه c عاملی از ax+by نیز هست ( که x و y اعدادی صحیح هستند).

مثال: 6 عاملی از 18 و 24 است. همینطور 6 عاملی از6=48-54=24×2-18×3  نیز هست.

• اگر c عاملی از a باشد آنگاه |c|≤|a|.
• اگر c عاملی از b و b عاملی از a باشد آنگاه c عاملی از a نیز هست.

مثلا 15 عاملی از 30 و 30 عاملی از 150 است پس 15 عاملی از 150 نیز هست.

Let a, b be integers and 11 be a factor of 6a-b and also 2a-3b. Which of the following must be divisible by 11?

(I) 1      (II) 10a-15b    (III) 0    (IV) 4a+2b

Clearly (I) is impossible. 10a-5b=5(2a-3b), then this is possible and (III) is obviously possible.

4a+2b=6a-b-(2a-3b), thus this is possible too. Then the answer is (II, III, IV).

مضرب مشترک (common multiple):

فرض کنیم a و b اعداد صحیح ناصفری باشند. عدد صحیح c را مضرب مشترک a و b گوییم هرگاه a و b  عامل c باشند.

مثلا 42 مضرب مشترک 2 و 3 است.  

اگر t عدد صحیحی باشد آنگاه tab مضرب  مشترکی از a و b است. بنابراین دو عدد صحیح بینهایت مضرب مشترک دارند.

در میان مضرب های مشترک a و b کوچکترین آن ها را کوچکترین مضرب مشترک (least common multiple) آن دو گوییم و با نماد LCM(a,b) یا  [a,b] می دهیم.

هر مضرب مشترک a و b بر [a,b] بخشپذیر است.

• اگر اعداد a و b عامل مشترک نداشته باشند آنگاه کوچترین مضرب مشترک آن ها حاصلضربشان است.

مثال: کوچکترن مضرب مشترک 15 و 17 برابر است با 15×17=255

• اگر a یک عامل b باشد آنگاه [a,b]=|b|.
• اگر a,b]=L] آنگاه ca , cb]=cL] (که c یک عدد صحیح دلخواه است.)
• اگر a,b]=L] آنگاه an,bn]=Ln]        

باقی مانده

فرض کنید میخواهیم 34 را بر 8  تقسیم کنیم.

به عبارت دیگر داریم:  34=8×4+2

در تقسیم مقابل عدد 34 را مقسوم (dividend)، عدد 8 را مقسوم علیه  (divisor)، عدد 4 را خارج قسمت  (quotient) و عدد 2 را باقیمانده (remainder) گویند.

در حالت کلی  برای عدد دلخواه x و مقسوم علیه  D فرمول زیر را داریم:                                                                                           

همواره تقسیم را تا جایی ادامه میدهیم که باقیمانده کمتر از D باشد. پس باقیمانده یکی از مقدارهای 0 یا 1 یا ... یا D-1 است.

 اگر باقیمانده 0 باشد آنگاه گوییم x بر D بخشپذیر است. (x is divisible by D)

 گاهی برای یافتن باقیمانده نیازی به انجام عمل تقسیم نیست:

• باقیمانده تقسیم یک عدد بر 2: اگر عدد زوج باشد باقیمانده صفر است و اگر عدد زوج باشد باقیمانده فرد است.
• باقیمانده تقسیم یک عدد بر 3:  باقیمانده برا بر است با باقیمانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 3.
• باقیمانده 974 بر 3 برابر است با تقسیم 9+7+4=20  بر 3 که برابر است با 2.
• باقیمانده تقسیم یک عدد بر 4: کافیست باقیمانده دو رقم سمت راست عدد بر 4 را بدست آوریم .
• باقیمانده تقسیم  48763146 بر 4 برابر است با باقیمانده تقسیم 46 بر 4 که برابر است با 2.
• باقیمانده تقسیم یک عدد بر 5: اگر رقم یکان کمتر از 5 بود، باقیمانده همان عدد است ولی اگر بیشتر از 5 بود کافیست 5 واحد از آن کم کنیم.
• باقیمانده 3584 بر 5 برابر است با 4 و باقیمانده 6428 بر 5 برابر است با 3=5-8
• باقیمانده تقسیم یک عدد بر 8: کافیست باقیمانده 3 رقم سمت راست آن عدد بر 8 را بدست آوریم.
• باقیمانده یک عدد تقسیم بر 9: ارقام آن عدد را آنقدر با هم جمع می کنیم تا حاصل عددی یک رقمی شود.
• باقیماند ه تقسیم 37954 بر 9 چیست؟ 4+7+9+5+4=29 و 2+9=11 و 1+1=2. پس باقیمانده برابر است با 2.
• باقیمانده تقسیم یک عدد بر 10: برابر است با رقم یکان آن عدد.