حتی اگر تصمیم به ثبت نام ندارید...
با پر کردن این فرم یا با تماس با 02145328 صمیمانه و با تمام وجود در کنار شما خواهیم بود.
نکات اعداد زوج و فرد در ریاضی GRE: جامع‌ترین راهنما برای کسب نمره بالا
نویسنده:
موسسه آموزشی زنگنه
زمان مطالعه: 14 دقیقه
تاریخ ایجاد: 11 آذر 1399
تاریخ بروز رسانی: 22 مهر 1404
نویسنده:
موسسه آموزشی زنگنه
زمان مطالعه: 14 دقیقه
تاریخ ایجاد: 11 آذر 1399
تاریخ بروز رسانی: 22 مهر 1404
خلاصه و نکات کلیدی
- 🧩 تعریف پایه:
- اعداد زوج بر ۲ بخش‌پذیرند (باقی‌مانده صفر) و به ارقام ۰، ۲، ۴، ۶، ۸ ختم می‌شوند. صفر یک عدد زوج است.
- اعداد فرد بر ۲ بخش‌پذیر نیستند (باقی‌مانده یک) و به ارقام ۱، ۳، ۵، ۷، ۹ ختم می‌شوند.
- 🧠 استراتژی حل مسئله در GRE: به جای حفظ فرمول‌های پیچیده، از روش جایگذاری اعداد ساده (مانند ۰، ۱، ۲) برای بررسی گزینه‌ها استفاده کنید.
- ⚙️ قواعد عملیات اصلی:
- جمع و تفریق: جمع یا تفریق دو عدد هم‌نوع (زوج با زوج، یا فرد با فرد) همیشه عددی زوج می‌دهد. جمع یا تفریق دو عدد متفاوت (زوج با فرد) همیشه عددی فرد می‌دهد.
- ضرب: حاصل ضرب تنها زمانی فرد است که تمام عوامل آن فرد باشند. کافیست یک عامل زوج وجود داشته باشد تا حاصل ضرب حتماً زوج شود.
- توان: زوجیت یک عدد پس از توان‌رساندن (با توان مثبت) تغییری نمی‌کند. عدد زوج به توان برسد حاصل زوج است و عدد فرد به توان برسد حاصل فرد است.
- 📚 نکات پیشرفته:
- فاکتوریل: حاصل فاکتوریل هر عدد بزرگتر از ۱، زوج است. (n! برای n>1)
- اعداد منفی: قواعد زوج و فرد برای اعداد صحیح منفی نیز کاملاً صدق می‌کند.
در مسیر آمادگی برای آزمون GRE، هر مبحث و هر نمره اهمیت ویژه‌ای دارد. بخش Quantitative Reasoning یا همان ریاضی GRE، دروازه‌ای برای ورود به بسیاری از دانشگاه‌های برتر دنیاست. یکی از مباحث پایه‌ای و در عین حال حیاتی در این بخش، «اعداد زوج و فرد» است. شاید در نگاه اول این مبحث بسیار ساده به نظر برسد و یادآور دوران ابتدایی باشد، اما در آزمون GRE، سؤالات مربوط به این مبحث با پیچیدگی‌هایی در هم آمیخته می‌شوند که تنها با درک عمیق اصول و تکنیک‌های حل مسئله می‌توان از پس آن‌ها برآمد.
این مقاله، جامع‌ترین و کامل‌ترین راهنمای شما برای تسلط بر نکات اعداد زوج و فرد در ریاضی GRE است. هدف ما این است که نه تنها قواعد را به شما آموزش دهیم، بلکه با ارائه استراتژی‌های کاربردی و نمونه سؤالات، شما را برای هر نوع سؤالی که در این زمینه ممکن است با آن روبرو شوید، آماده کنیم. پس قلم و کاغذتان را بردارید و با ما همراه باشید تا این مبحث را به یک نقطه قوت در نمره کوانت خود تبدیل کنید.
درک پایه‌ای اعداد زوج و فرد در GRE
قبل از اینکه به سراغ قواعد و تکنیک‌ها برویم، باید مطمئن شویم که درک مشترکی از مفاهیم اصلی داریم. در ریاضیات GRE، اعداد زوج و فرد همواره اعداد صحیح هستند.
اعداد زوج (Even Numbers)
اعداد زوج، اعدادی هستند که بر ۲ بخش‌پذیرند و باقی‌مانده تقسیم آن‌ها بر ۲، صفر است.
تعریف فرمولی: هر عدد زوج را می‌توان به شکل 2k نمایش داد، که k یک عدد صحیح است.
نمونه‌ها: ..., -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...
نکته مهم GRE: عدد صفر یک عدد زوج است! این نکته بسیار کلیدی است و فراموشی آن می‌تواند شما را در تله سؤالات آزمون بیندازد.
روش شناسایی: رقم یکان هر عدد زوج، یکی از اعداد ۰, ۲, ۴, ۶, ۸ است.
اعداد فرد (Odd Numbers)
اعداد فرد، اعدادی هستند که بر ۲ بخش‌پذیر نیستند و باقی‌مانده تقسیم آن‌ها بر ۲، یک است.
تعریف فرمولی: هر عدد فرد را می‌توان به شکل 2k+1 یا 2k−1 نمایش داد، که k یک عدد صحیح است.
نمونه‌ها: ..., -3, -1, 1, 3, 5, ...
روش شناسایی: رقم یکان هر عدد فرد، یکی از اعداد ۱, ۳, ۵, ۷, ۹ است.
همین الان مشاوره بگیر!
هفت روز هفته، از ساعت ۸ صبح تا 9 شب
📞 تماس بگیرید: 021-45328
⚠️ نکته حیاتی: در آزمون GRE، اعداد زوج و فرد فقط به اعداد صحیح (Integers) مربوط می‌شوند. در مورد کسرها، اعداد اعشاری و اعداد غیرصحیح نمی‌توان از اصطلاح زوج یا فرد استفاده کرد.
قواعد طلایی عملیات روی اعداد زوج و فرد
بیشتر سؤالات مربوط به این مبحث، درباره نتیجه عملیات (جمع، تفریق، ضرب، و توان) روی اعداد زوج و فرد هستند. به جای حفظ کردن ده‌ها مثال، کافی است قواعد کلی را یاد بگیرید.
قواعد جمع و تفریق
در آزمون GRE، اغلب با ترکیب‌های مختلفی از جمع و تفریق روبرو می‌شوید. این قواعد را به خاطر بسپارید:
- زوج ± زوج = زوج (E ± E = E)
- مثال: 4 + 6 = 10 (زوج)
- فرد ± فرد = زوج (O ± O = E)
- مثال: 7 + 5 = 12 (زوج)
- مثال: 9 − 3 = 6 (زوج)
- زوج ± فرد = فرد (E ± O = O)
- مثال: 8 + 3 = 11 (فرد)
- مثال: 12 − 5 = 7 (فرد)
استراتژی جایگذاری (Plugging In): یکی از بهترین راه‌ها برای حل سریع این سؤالات، جایگذاری اعداد ساده به جای متغیرهاست. فرض کنید سؤالی از شما می‌پرسد: 'اگر x و y هر دو فرد باشند، x + y چه نوع عددی است؟' کافیست به جای x و y اعداد ساده فرد مانند 1 و 3 را قرار دهید: 1 + 3 = 4. حاصل، یک عدد زوج است. با این روش ساده، بدون نیاز به حفظ کردن قواعد، به جواب می‌رسید.
قواعد ضرب و تقسیم
این بخش نیز ساده است، اما در مورد تقسیم باید احتیاط کنید.
- زوج × زوج = زوج (E × E = E)
- مثال: 4 × 8 = 32 (زوج)
- فرد × فرد = فرد (O × O = O)
- مثال: 5 × 7 = 35 (فرد)
- زوج × فرد = زوج (E × O = E)
- مثال: 6 × 9 = 54 (زوج)
نکته کلیدی: تنها زمانی حاصل ضرب یک عدد فرد است که همه عوامل آن فرد باشند. کافیست یک عامل زوج وجود داشته باشد تا حاصل ضرب حتماً زوج شود. این نکته در حل مسائل مربوط به حاصل ضرب چندین متغیر بسیار کارآمد است.
قواعد تقسیم
در GRE، مبحث زوج و فرد به اعداد صحیح محدود می‌شود. حاصل تقسیم یک عدد زوج بر یک عدد زوج یا فرد بر یک عدد فرد می‌تواند زوج، فرد، یا حتی غیرصحیح باشد.
- مثال: 10 ÷ 2 = 5 (فرد)
- مثال: 12 ÷ 4 = 3 (فرد)
- مثال: 12 ÷ 6 = 2 (زوج)
- مثال: 15 ÷ 5 = 3 (فرد)
- مثال: 15 ÷ 3 = 5 (فرد)
- مثال: 10 ÷ 4 = 2.5 (غیرصحیح)
بنابراین، از روی یک عمل تقسیم نمی‌توان به‌راحتی زوج یا فرد بودن نتیجه را تعیین کرد. برای این نوع سؤالات، باید به دنبال سرنخ‌های دیگری در صورت مسئله باشید.
قواعد توان و ریشه
این بخش یکی از ساده‌ترین قواعد را دارد.
- توان‌های زوج: اگر عدد پایه زوج باشد، حاصل هر توان مثبتی از آن حتماً زوج است.
- En = E (برای n > 0)
- مثال: 4² = 16 (زوج)
- مثال: 2¹⁰ = 1024 (زوج)
- توان‌های فرد: اگر عدد پایه فرد باشد، حاصل هر توان مثبتی از آن حتماً فرد است.
- On = O (برای n > 0)
- مثال: 3² = 9 (فرد)
- مثال: 7³ = 343 (فرد)
نکته مهم: این قاعده در مورد توان‌های منفی (کسری) صدق نمی‌کند، زیرا حاصل به یک عدد کسری تبدیل می‌شود. مثلاً 2⁻² = 1/4 که نه زوج است و نه فرد.
استراتژی‌های حل مسئله در GRE
حالا که قواعد را بلد هستید، وقت آن رسیده که با روش‌های کاربردی برای حل مسائل GRE آشنا شوید. صرفاً دانستن قواعد کافی نیست، بلکه باید بتوانید آن‌ها را در شرایط آزمون، که زمان و دقت حرف اول را می‌زند، به‌کار بگیرید.
استراتژی جایگذاری اعداد (Plugging In)
این استراتژی، بهترین دوست شما در مسائل مربوط به اعداد زوج و فرد است. به جای فکر کردن انتزاعی به متغیرهای x و y، از اعداد ملموس استفاده کنید.
مثال: اگر x یک عدد زوج و y یک عدد فرد باشد، کدام‌یک از عبارات زیر حتماً زوج است؟ الف) x + y + 1 ب) x − y ج) x × y + y د) (x − 1) × (y + 1) ه) xy
حل با استراتژی جایگذاری: فرض کنید x = 2 (زوج) و y = 3 (فرد).
الف) x + y + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 (زوج)
ب) x − y = 2 − 3 = −1 (فرد)
ج) x × y + y = 2 × 3 + 3 = 9 (فرد)
د) (x − 1) × (y + 1) = (2 − 1) × (3 + 1) = 1 × 4 = 4 (زوج)
ه) xy = 2³ = 8 (زوج)
در این مثال، سه گزینه الف، د و ه زوج شدند. برای اطمینان، یکبار دیگر با اعداد دیگر امتحان کنید. مثلاً x = 4 و y = 1.
الف) 4 + 1 + 1 = 6 (زوج)
د) (4 − 1)(1 + 1) = 3 × 2 = 6 (زوج)
ه) 4¹ = 4 (زوج)
همانطور که می‌بینید، گزینه‌های الف، د و ه همگی زوج باقی ماندند. در آزمون GRE، ممکن است تنها یک گزینه صحیح باشد و این نشان‌دهنده نقص در صورت سؤال مثال ماست. با این حال، استراتژی جایگذاری به شما کمک می‌کند تا گزینه‌های غلط را به سرعت حذف کنید.
استفاده از نمادها (E و O)
اگر با جبر راحت هستید، می‌توانید از نمادهای E (برای زوج) و O (برای فرد) استفاده کنید.
مثال: اگر x یک عدد فرد باشد، کدام یک از عبارات زیر حتماً فرد است؟ الف) x + 2 ب) x + x ج) x × (x − 1) د) x² + 1 ه) 2x − 1
حل با نمادها: x = O
الف) O + E = O (فرد) ✅
ب) O + O = E (زوج)
ج) O × (O − O) = O × E = E (زوج)
د) O² + 1 = O + O = E (زوج)
ه) E − O = O (فرد) ✅
با این روش نیز می‌توانید به جواب برسید. هر دو روش جایگذاری و استفاده از نمادها در نهایت به یک نتیجه می‌رسند.
سؤالات مقایسه‌ای (Quantitative Comparison)
در این نوع سؤالات، باید مقدار دو عبارت را با هم مقایسه کنید.
مثال: ستون A: 3x + 5y ستون B: x + y اگر x و y اعداد صحیح باشند.
تحلیل:
اگر x و y هر دو زوج باشند: ستون A: E + E = E ستون B: E + E = E
اگر x و y هر دو فرد باشند: ستون A: O + O = E ستون B: O + O = E
اگر x زوج و y فرد باشد: ستون A: E + O = O ستون B: E + O = O
اگر x فرد و y زوج باشد: ستون A: O + E = O ستون B: O + E = O
همانطور که می‌بینید، در هر حالت، زوجیت هر دو ستون یکسان است. اما این به معنی برابر بودن آن‌ها نیست! برای مثال، اگر x = 2 و y = 3 باشد، ستون A برابر 3(2) + 5(3) = 21 و ستون B برابر 2 + 3 = 5 است. A > B. اما اگر x = 1 و y = 1 باشد، ستون A برابر 3(1) + 5(1) = 8 و ستون B برابر 1 + 1 = 2 است. A > B. در اینجا باید به مقادیر عددی نیز توجه کرد. اما اگر x و y هر دو منفی باشند، چه؟ فرض کنید x = −2 و y = −1.
ستون A: 3(−2) + 5(−1) = −6 − 5 = −11
ستون B: −2 + (−1) = −3
در این حالت نیز A از B کوچکتر است.
به دلیل اینکه جواب نهایی به مقادیر x و y بستگی دارد و ممکن است رابطه‌ی بین آن‌ها تغییر کند، نمی‌توان به قطعیت درباره آن‌ها نظر داد.
بنابراین پاسخ نامشخص (D) خواهد بود.
این مثال نشان می‌دهد که صرفاً دانستن قواعد زوج و فرد کافی نیست و باید به ماهیت سوالات GRE نیز مسلط باشید.
سوالات ترکیبی و چالش‌برانگیز
در بخش کوانت GRE، انتظار نداشته باشید که سوالات به صورت مستقیم و ساده پرسیده شوند. معمولاً مفاهیم زوج و فرد با سایر مباحث ریاضی مانند فاکتوریل، مقسوم‌علیه، و توان ترکیب می‌شوند.
در مسائل GRE، مفاهیم زوج و فرد می‌توانند با فاکتوریل و مقسوم‌علیه ترکیب شوند.
-
اعداد زوج و فرد و فاکتوریل:
- نکته: حاصل فاکتوریل هر عدد بزرگتر از ۱، یعنی n!، یک عدد زوج است.
- دلیل: چون در حاصل ضرب، حداقل یک عدد زوج (مثلاً ۲ و ۴ و ...) وجود دارد.
- مثال: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 (زوج)
- استثنا: 1! = 1 (فرد) و 0! = 1 (فرد). این دو حالت را به خاطر بسپارید.
-
اعداد زوج و فرد و مقسوم‌علیه:
- نکته: تعداد مقسوم‌علیه‌های یک عدد می‌تواند به زوجیت آن ربط داشته باشد.
- مثال: عدد ۲۴ چند مقسوم‌علیه زوج دارد؟
- مقسوم‌علیه‌های ۲۴: ۱، ۲، ۳، ۴، ۶، ۸، ۱۲، ۲۴
- مقسوم‌علیه‌های زوج: ۲، ۴، ۶، ۸، ۱۲، ۲۴ (۶ عدد)
- استراتژی: در این نوع مسائل، بهتر است مقسوم‌علیه‌ها را لیست کنید و زوجیت هر کدام را بررسی کنید.
نتیجه گیری
در نگاه اول، شاید این مبحث ساده‌ترین بخش ریاضیات GRE به نظر برسد، اما در واقع، یک ستون فقرات مهم برای حل سریع و دقیق بسیاری از مسائل پیچیده‌تر است. GRE یک آزمون سرعت و دقت است، نه یک آزمون محاسبات طاقت‌فرسا. طراحان سوالات GRE به دنبال این هستند که درک عمیق شما از مفاهیم را بسنجند، نه توانایی شما در انجام محاسبات طولانی.
تسلط بر نکات و قواعد اعداد زوج و فرد به شما این امکان را می‌دهد که:
1. زمان ذخیره کنید: به جای اینکه وقت خود را صرف محاسبات عددی کنید، می‌توانید با استفاده از منطق زوج و فرد، به سرعت گزینه‌های نادرست را حذف کرده و به جواب برسید.
2. دقت خود را افزایش دهید: با تکیه بر این قواعد بنیادی، احتمال خطا در محاسبات ذهنی کاهش می‌یابد.
3. ترس از مسائل جبری را کنار بگذارید: با استراتژی جایگذاری، حتی پیچیده‌ترین عبارات جبری هم به چند محاسبه ساده تبدیل می‌شوند.
در نهایت، موفقیت در بخش کوانت GRE مجموعه‌ای از مهارت‌های کوچک و بزرگ است که در کنار هم قرار می‌گیرند. مبحث اعداد زوج و فرد یکی از آن نقاط قوت کلیدی است که با کمی تمرین، به راحتی به شما کمک می‌کند تا چند سوال مهم را به درستی پاسخ دهید و نمره خود را به طور محسوسی بهبود بخشید. پس از این مبحث مهم غافل نشوید و آن را جدی بگیرید.
سوالات متداول (FAQ)
آیا ۰ یک عدد زوج است؟
بله، صفر یک عدد زوج است. این نکته در آزمون GRE بسیار مهم است. صفر بر ۲ بخش‌پذیر است (0 ÷ 2 = 0) و باقی‌مانده آن صفر است.
آیا اعداد منفی می‌توانند زوج یا فرد باشند؟
بله، اعداد صحیح منفی نیز مانند اعداد صحیح مثبت، می‌توانند زوج یا فرد باشند.
اعداد زوج منفی: ..., -6, -4, -2
اعداد فرد منفی: ..., -5, -3, -1
اعداد زوج منفی: ..., -6, -4, -2
اعداد فرد منفی: ..., -5, -3, -1
مهم‌ترین نکته برای حل مسائل زوج و فرد در GRE چیست؟
به جای اتکا به محاسبات پیچیده، از استراتژی جایگذاری اعداد ساده استفاده کنید. مثلاً به جای x و y، اعداد ۲ و ۳ را قرار دهید و ببینید کدام گزینه با قواعد زوج و فرد مطابقت دارد.
آیا تقسیم یک عدد فرد بر یک عدد فرد می‌تواند زوج باشد؟
حاصل تقسیم a ÷ b که a و b فرد هستند، ممکن است عددی صحیح باشد اما همیشه فرد یا زوج نیست. مثال: 9 ÷ 3 = 3 (فرد)، اما 1 ÷ 3 یک کسر است و نه زوج و نه فرد. بنابراین نمی‌توان به قطعیت گفت.
آیا تقسیم یک عدد زوج بر یک عدد فرد می‌تواند فرد باشد؟
خیر. حاصل تقسیم یک عدد زوج بر یک عدد فرد همیشه زوج خواهد بود. مثال: 12 ÷ 3 = 4 (زوج)، 10 ÷ 5 = 2 (زوج)، 18 ÷ 3 = 6 (زوج)
اگر xy زوج باشد، چه نتیجه‌ای می‌توان گرفت؟
اگر xy زوج باشد، نتیجه می‌گیریم که x حتماً زوج است، زیرا تنها زمانی حاصل توان‌رساندن زوج است که پایه آن (x) زوج باشد (با شرط اینکه x و y صحیح و y مثبت باشند). در مورد y نمی‌توان به قطعیت اظهار نظر کرد.
وقت مشاوره رایگان GRE با ما را رزرو کنید
شاید سوالات زیادی در مورد آزمون، ساختار آن، و نحوه شروع آمادگی داشته باشید. ما آماده‌ایم تا در یک جلسه مشاوره کاملاً رایگان و تخصصی، به تمامی سوالات شما پاسخ دهیم.
در این جلسه، ما:
- سطح فعلی شما را ارزیابی می‌کنیم.
- یک برنامه مطالعاتی شخصی‌سازی‌شده برای شما طراحی می‌کنیم.
- بهترین مسیر را برای رسیدن به نمره هدف‌تان به شما نشان می‌دهیم.
همین حالا با ما تماس بگیرید تا اولین قدم را برای آینده تحصیلی درخشان خود بردارید. آینده از آن شماست. با ما در موسسه آموزشی زنگنه ، به آن دست پیدا کنید.
منابع
- ETS: سازنده اصلی آزمون GRE، منابع و تمرین‌های رسمی را در وب‌سایت رسمی ETS ارائه می‌دهد.
- Kaplan و Princeton Review: از موسسات شناخته‌شده بین‌المللی هستند که دوره‌های آمادگی و منابع گسترده‌ای دارند. Kaplan | Princeton Review
- Magoosh: پلتفرم آنلاینی که دوره‌های خودآموز با قیمت مناسب و تمرین‌های فراوان ارائه می‌دهد. Magoosh
- Manhattan Prep: به دلیل کیفیت بالای کتاب‌ها و دوره‌های خود به خصوص در بخش ریاضی، شهرت دارد. Manhattan Prep
