نکات اعداد زوج و فرد در ریاضی جی آر ای

داشتن مدرک تحصیلی در مقاطع کارشناسی ارشد و دکترا، فرصت های بیشماری را برای هر فرد به وجود می آورد. در تحقیقات اخیر اثبات شده است، هرچه مدرک تحصیلی فرد بالاتر باشد، دستمزد بیشتری دریافت خواهد کرد و نرخ بیکاری در این گروه کمتر است. اگر تصمیم دارید تحصیلات خود را در رشته های مدیریت، حقوق یا سایر رشته ها ادامه دهید، شرکت در آزمون جی آر ای قدمی بزرگ برای تحقق بخشیدن به رویاهایتان است. آزمون جی آر ای توسط موسسه ETS برگزار می شود و آزمونی کامپیوتری است، این آزمون در گروه آزمون های استعداد تحصیلی است که در آن توانایی های فرد مورد ارزیابی قرار می گیرد و مدرک این آزمون جز مدارک لازم برای پذیرش در دوره های کارشناسی ارشد و دکترا در اکثر دانشگاه های آمریکا، کانادا، انگلستان، استرالیا و کشورهای اروپایی است. آزمون جی آر ای در دو ماژول جنرال و سابجکت برگزار می شود. در آزمون جی آر ای جنرال سه مبحث Verbal Reasoning ،Quantitative Reasoning و Analytical Writing مورد ارزیابی قرار می گیرد. اعتبار آزمون جی آر ای برخلاف آیلتس و تافل که دو ساله هستند، پنج سال است. نمره مبحث ریاضی در آزمون جی آر ای بین 130 تا 170 و مبحث وربال نیز به همین صورت است، بنابراین نمره کلی در آزمون GRE برابر با 340 است. هزینه ثبت نام در آزمون جی آر ای 205 دلار آمریکا است و لازم به ذکر است که برخلاف آزمون جی مت که در ایران برگزار نمی شود، آزمون جی آر ای در ایران برگزار می شود. اگر بخواهید زمان آزمون خود را تغییر دهید باید 50 دلار پرداخت کنید و اگر بخواهید مرکزی که برای آزمون انتخاب کرده اید را تغییر دهید، باید هزینه 50 دلاری را پرداخت کنید. شما می توانید نمره ی GRE خود را به صورت رایگان برای چهار دانشگاه و موسسه آموزش عالی ارسال کنید و اگر بخواهید نمرات خود را به موسساتی دیگر ارسال کنید به ازای هر گزارش نمره باید هزینه ای معادل 20 دلار پرداخت کنید. فاصله دو آزمون جی آر ای شما از هم باید حداقل 21 روز باشد و در یک سال تنها می توانید 5 بار در آزمون شرکت کنید. در اینجا نکاتی از بخش ریاضی آزمونِ جی آر ای را برای شما آورده ایم:

اعداد زوج (even) اعداد صحیحی هستند که بر2 بخش پذیرهستند؛ مثل:  …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8,10, …

رقم یکان این اعداد 0 یا 2 یا 4 یا 6 یا 8 هستند. به طور مثال اعداد 156 و 74810 و 586492 زوج هستند. بنابراین باقی مانده تقسیم هر عدد زوج بر 2 برابر است با 0، پس هر عدد زوج را می توان به صورت 2k نمایش داد (k عددی صحیح است) مثلا 17×2=34.

اعداد فرد (odd) اعداد صحیحی هستند که بر 2 بخش پذیر نیستند؛ مثل: …, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, …

رقم یکان این اعداد 1 یا 3 یا 5 یا 7 یا 9 هستند. مثلا 253 و 14841 و 18761327 فرد هستند. بنابراین باقی مانده تقسیم هر عدد فرد بر 2 برابر است با 1، پس هر عدد فرد را می توان به صورت 2k+1 نمایش داد (k عددی صحیح است) مثلا 1+23×2=47 . همان طور که میبینیم هر عدد صحیح یا زوج است و یا فرد. در واقع اعداد زوج و فرد به صورت یکی در میان ظاهر می شوند.

انجام عملیات بر روی اعداد زوج و فرد

• مجموع یا تفاضل یا حاصل ضرب دو عدد زوج عددی زوج است. مثال:                       56=12+44     18-=24+42-     192=16×12
• مجموع یا تفاضل دو عدد فرد عددی زوج است. مثال:                                                                       36=15+21         8=7-15   
• مجموع یا تفاضل یک عدد زوج و یک عدد فرد عددی فرد است. مثال:                                                19=7+12           13-=17-4
• حاصل ضرب دو عدد فرد عددی فرد است. مثال:                                                                                                    63=9×7
• حاصل ضرب یک عدد زوج و یک عدد فرد عددی زوج است. مثال:                                                                             30=5×6
• اگر تعدادی زوج عدد زوج (فرد) را جمع یا تفریق کنیم حاصل عددی زوج است. مثال:                      24=2+6+12+4      5=1+5-3+3
• حاصل ضرب عددی زوج در هر عددی، عددی زوج است و حاصل ضرب اعداد فرد در هم عددی فرد است. مثال:                168=3×8×7
• اگر n عدد زوج را در هم ضرب کنیم آنگاه عدد حاصل بر8 بخشپذیر است. مثال:                                                    240=10×4×6 
• تقسیم عددی فرد بر یک عدد زوج همواره عددی غیر زوج (ناصحیح) است. مثال:                                                       3.75=4÷15

اگر عدد زوج را با E و عدد فرد را با O نمایش دهیم؛ آن گاه می توان عبارات بالا را به صورت زیر تعریف کرد:

E±E=E         O±O=E        E±O=O       E×E=E       O×O=O       E×O=E

نمونه سوالات GRE

• If xyz is even, x+z is odd and y+z is odd, z is: 

(A) even                  (B) odd                  (C) indeterminable (could be even or odd, or a fraction)

چون xyz زوج است پس حداقل یکی از اعداد باید زوج باشد. اما x+z فرد است پس یکی از اعداد x و z باید زوج و دیگری فرد باشد، به طور مشابه یکی از اعداد y و z هم باید زوج و دیگری فرد باشد. چون z در هر دو عبارت مشترک است بهتر است درباره آن بحث کنیم. اگر z فرد باشد آنگاه x و y باید زوج باشند و اگر z زوج باشد آنگاه x و y باید فرد باشند و در هر دو حالت xyz زوج است. بنابراین جواب گزینه (C) است.

• If ab+c is odd, which of the following must be true? Indicate all that apply.

(A) a+c is odd         (B) b+c is odd        (C) abc is even.

تنها حالتی که مجموع دو عدد فرد می شود زمانی است که یکی زوج و دیگری فرد باشد. فرض کنیم ab زوج و c فرد باشد پس یکی از a یا b زوج و دیگری فرد است. اگر a فرد باشد آنگاه (A) نادرست است. اگر b فرد باشد آنگاه (B) نادرست است ولی در هر دو حالت (C) صحیح است. اگر c زوج باشد باز هم (C) صحیح است. بنابراین گزینه (C) جواب صحیح است.