اعداد مثبت (positive) و منفی(negative) و صفر را میتوان به صورت زیر روی محور اعداد(number line) نشان داد.
اعداد مثبت سمت راست صفر و اعداد منفی سمت چپ صفر قرار دارند.(در واقع +و- به ترتیب حرکت به سمت راست و چپ هستند.) صفر نه مثبت و نه منفی است.
اعداد را {... و3 و2 و1و0 و1- و2- و3-} اعداد صحیح (integer) می نامیم.
فاصله یک عدد تا صفر را قدر مطلق(absolute value) آن عدد می نامیم و با نماد | . | نمایش می دهیم.
مثال: 6=|6| و 12=|12-| و 0=|0| و 6=|6-|
اما جمع (addition) ، تفریق (subtraction)،ضرب (multiplication) و تقسیم (division) این اعداد چگونه است ؟
اگر دو عدد علامت یکسانی (same sign) داشته باشند ابتدا قدرمطلق دو عدد را با هم جمع میکنیم و سپس علامت مشترک را پشت حاصلجمع قرار می دهیم.
5+7=13, - 6 - 9 = - 6 + (-9)= - (6+9)= - 15
در غیر اینصورت (different signs) ابتدا عدد با قدر مطلق کوچکتر را از عدد با قدر مطلق بزرگتر کم می کنیم و سپس علامت عدد بزرگتر را پشت حاصلجمع قرار می دهیم:
-8+12=+(12-8)=+4=4, 3-7=-(7-3)=-4
روی محوراعداد می بینیم که منفی یک عدد در واقع قرینه آن عدد نسبت به صفر است.
مثال: قرینه 3 برابر است با 3- و قرینه 5- برابر است با 5.
پس می توان قرینه یک عدد را به عنوان منفی آن عدد در نظر گرفت. مثلا 7=(7-)-.
یعنی قرینه قرینه یک عدد برابر با خود آن عدد است. پس می توان نتیجه گرفت که
−×+=− , −×−=+
برای ضرب یا تقسیم دو عدد صحیح ابتدا قدرمطلق های آن ها را در هم ضرب/تقسیم میکنیم و سپس حاصلضرب علامت ها را پشت حاصل قرار میدهیم:
5×(-6)=-(5×6)=30, (-7)×(-4)=-(-(7×4))=-(-(28))=28
(-10)÷2=-(10÷5)=-2, (-32)÷(-8)=-(-(32÷8))=-(-(4))=4
اگر تعداد اعداد صحیح با علامت منفی در ضرب یا تقسیم زوج باشد آنگاه علامت عدد حاصل مثبت است واگر فرد باشد علامت عدد حاصل منفی است.
می بینیم که جمع و ضرب اعداد صحیح همواره یک عدد صحیح است اما در مورد تقسیم دو عدد صحیح چیزی نمی توان گفت. مثلا : 5÷(8-) جواب صحیح ندارد.
نمونه سوال های GRE
1.
Quantity A Quantity B
14-3(4-6) (4)(-3)(2)(-1)
the answer is B.
14-3(4-6)=14-3(-2)=14-(-(3×2))=14-(-(6))=14+6=20
(4)(-3)(2)(-1)=-(-(4×3×2×1))=-(-(24))=24
2. 5-(4-(3-(2-1)))= ?
5-(4-(3-(2-1)))=5-(4-(3-(1)))=5-(4-(3-1))=5-(4-(2))=5-(4-2)=5-(2)=5-2=3
3. what is the sum of numbers in the grid below?
As you see the four left columns have the symmetry so that the numbers cancel out each other. therefore the sume of numbers is equal to the sum of the numbers in two far-right columns. using calculator we have 3+4+6+8+9+12+12+16+15+20+18+24=147
4. 1-2+3-4+...+99-100=?
As you see there are 50 pair of numbers 1-2, 3-4, ..., 99-100. thus
1-2+3-4+...+99-100=(-1)+(-1)+...+(-1)=-50
5. the sum of 20 numbers is equal to -1. how many numbers can be more than 20, at most?
all numbers can be more than 20 but one number and it is enough that the sum of 19 number just be 1 unit less from the 20th number.
6.
Quantity A Quantity B
(3-9)1001 -(1-2)999+(2-3)1001
(3-9)1001=(-6)1001. Since 1001 is odd then the result is negative.
-(1-2)999=-(-1)999. Since 999 is odd then (-1)999=-1, thus -(-1)999=1. In the same way (2-3)1001=-1. therefore quantity B is 0 and quantity A is a negative integer. hence the answer is B.
7. If x=-|-(100-101)2y-(2-5)| and y is an integer, what is the value of x?
x=-|-(-1)2y-(-3)|=-|-1+3|=-|2|=-2