به بخش مقالات آموزشی موسسه زنگنه خوش آمدید

This is some blog description about this site

مقالات و منابع ریاضی GRE : اعداد اول (Prime numbers)

مقالات و منابع ریاضی GRE : اعداد اول (Prime numbers)

اعداد اول (prime numbers)

عددی که جز خودش و 1 عامل (مقسوم علیه) دیگری نداشته باشد را عدد اول(prime) گوییم. توجه کنید که 1 عددی اول نیست.

مهمترین اعداد اول را که باید به حافظه بسپارید عبارتند از 2و 3و 5و 7و 11و 13و 17.
اعداد اول کوچکترین عوامل سازنده اعداد صحیح هستند و در واقع هر عدد صحیح را می توان به صورت حاصلضربی از عوامل اول آن عدد نوشت.


توجه: از این پس فقط اعداد مثبت و عوامل مثبت آن را در نظر میگیریم. (در آزمون جی آر ای اعداد مثبت در نظر گرفته می شوند)

  برای بدست آوردن عوامل اول یک عدد، جدولی با دو ستون رسم میکنیم. یک ستون را عامل اول و در ستون بعد عدد مورد نظر را قرار می دهیم.
از عدد اول 2 به ترتیب شروع میکنیم. اگر 2 عامل آن عدد باشد حاصل تقسیم بر 2 را روبروی آن می نویسم. اگر نه به سراغ عدد اول بعدی میرویم که عاملی از آن عدد باشد. حال هر بار این روند را برای عدد حاصل از تقسیم ادامه می دهیم تا به عدد 1 برسیم.
مثلا برای عدد 420 داریم:    

p6

p4

 

 توجه کنید حاصلضرب دو عدد در یک ردیف عدد ردیف بالا را نتیجه میدهد.

 

 

نکته: اگر رقم سمت راست عددی 0 باشد آنگاه آن عدد بر 10 بخشپذیر است، پس عامل های 2 و 5 دارد. بنابراین به ازای هر صفر در سمت راست یک عدد عامل 2 و 5 داریم. مثلا 42×10=420 و چون 7×3×2=42 بنابراین سریعتر به نتیجه بالا میرسیم. به مثال دیگری توجه کنید:                                                             p5

توجه کنید که 3 عاملی از 105 است و 105 عاملی از 420 پس 3 عاملی از 420 نیز هست. در واقع این یک قانون کلی است:
اگر عددی مثل a عاملی از عدد b باشد و عدد b عاملی از عدد c باشد آنگاه عدد a عاملی از c نیز است.

از طرف دیگر می بینیم که 2 و 7 عوامل اول 420 هستند و حاصلضرب آنها 14 نیز عاملی از 420 است. در واقع:
اگر دو عدد اول عواملی از یک عدد باشند آنگاه حاصلضرب آن ها نیز عاملی از آن عدد است.
(در حالت کلی اگر دو عدد عامل هایی از یک عدد باشند و عامل مشترکی نداشته باشند آنگاه حاصلضرب ان ها نیز عاملی از آن عدد است. مثلا 14 و 15 عامل هایی از 420 هستند و چون عامل مشترکی ندارند بنابراین 15×14 نیز عاملی از 420 است.)

بنابراین همه عوامل یک عدد برابرند با عوامل اول آن عدد (و البته عدد 1) و حاصلضرب آن ها.
(دقت کنید که تعداد تکرار یک عامل اول در حاصلضرب، حداکثر به اندازه ای است که در جدول آمده است. مثلا عدد 3 حداکثر سه بار میتواند در خودش ضرب شود)

مثلا بعضی از عوامل 420 عبارتند از:
p1

بنابراین اگر عددی مثل x را بر حسب عامل های اول آن به صورت زیر بنویسیم:

pr× qs ×...

که p و q و ... عوامل اول عدد x هستند، آنگاه تعداد عوامل x برابر است با

(r+1)(s+1)...

مثلا برای 420 تعداد عوامل برابر است با:  24=(1+1)(1+1)(1+1)(1+2)  


For how many integer values of x is 650/x is an integer?

برای اینکه x عدد صحیحی باشد، x باید یک عامل 650 باشد. پس کافیست تعداد عامل های 650 را بدست آوریم. p7   بنابراین تعداد عامل ها برابر است با(1+1)(2+1)(1+1)=12.

If is 3x(52) divided by 35(53) , the quotient terminates with one decimal digit. If x>0, which of the following statements must be true?
(A) x is odd        (B) x is even       (C) x>5       (D) x≥5        (E) x=5

وقتی عددی مضرب 3 نباشد آنگاه حاصل تقسیم آن عدد بر 3 آن یک عدد اعشاری بی پایان است.(  p8 ) در حالیکه اگر عددی مضرب 5 نباشد حاصل تقسیم آن عدد بر5 یک عدد اعشاری مختوم است. بنابراین برای اینکه یک عدد اعشاری مختوم باشد، x باید حداقل 5 باشد. در این صورت حاصل برابر است با . بنابراین جواب گزینه (D) است.

Which of the following values times 12 is not a multiple of 64? Indicate all such values.
p2

p9  بنابراین اعداد بخشپذیر بر 64 باید دارای عاملp10 باشند. p11   پس آن مضاربی از 12 که 2 در آنها حداکثر توان 3 داشته باشد بر 64 بخشپذیر نیستند.

p3
در نتیجه سه گزینه آخر جواب سوال هستند.

abc is a three-digit number in which a is the hundreds digit, b is the tens digit and c is the units digit. Let &abc&=(2a)(3b)(5c) For how many three-digit numbers abc will the function &abc& yield a prime number?

برای اینکه عددی اول باشد باید یکی از توان ها 1 و بقیه 0 باشند. تنها عدد سه رقمی حاصل از 1و 0و 0 عدد 100 است.

رای دهی به این پست:
مقالات و منابع آیلتس :Spelling و نقش مهم آن در آیل...
مقالات و منابع ریاضی GRE : اعداد زوج و فرد (even a...

Related Posts

نظرات

 
بدون نظر
آیا قبلا ثبت نام کرده اید؟ وارد سایت شوید
مهمان
سه شنبه, 29 آبان 1397
Go to top
0
Shares